Melvyn J. Knight は、
与えられたnについて、不定方程式 n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z) が整数解を持つかどうか
を問題とした。
(Andrew Bremner , Richard K. Guy , and Richard J. Nowakowski ,
"Which integers are representable as the product of
the sum of three integers with the sum of their reciprocals ?"
Math. Comput. Vol.61, Number 203, (1993 July) より)
ここでは、まず簡単なプログラムで、-100 ≤ n ≤ 100 の範囲の整数解を探してみる。
次に、上記の論文を参考に、双有理同値な楕円曲線上の有理点を求めることにより、
(x,y,z) が大きな値となる解を求める。例えば、
n = -100 : (x,y,z) = (4450012553, 219887106322, -663397965750)
n = 94 : (x,y,z) = (571064, -1799160, 79045681)
等を見つけることができる。
また、同じような不定方程式 x/y+y/z+z/x=n について、整数解を探してみる。
これも楕円曲線を用いることにより、
n = -48 : (x,y,z) = (72072752816411426700, 33132848506525529596688, -2507202774146263930905)
n = 62 : (x,y,z) = (4467832378776170000, -51609086900999886977, 278221158496143039700)
等を見つけることができる。
この問題の意味するところを理解するために、以下の解を求めてみて下さい。
2章 3種類以下の数字からなる2乗数 | 数学者の密室 目次 |
4章 n=x3+y3+z3 |
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Chapter 2. Squares consisted of 3 different digits |
"Mathematician's Secret Room" | Chapter 4. n=x3+y3+z3 |