z^17-1=0

z¹⁷-1 = 0

(2008/06/02)

z¹⁷-1 = (z-1) (z¹⁶+ ... +z+1)

z_k = exp (2πk/17) = cos(2πk/17) + sin(2πk/17).i (k=1, 2, ... , 16)

とする。

z_k = z₁^k

となる。

17の原始根として 3 を選ぶ。

3¹⁶ = 1 (mod 17)

原始根はどの値を選んでもよい（が、小さい値の方が計算が楽）。

17-1 = 2 * 2 * 2 * 2

(17-1)/2 = 8 ........... step 1
(17-1)/(2*2) = 4 ....... step 2
(17-1)/(2*2*2) = 2 ..... step 3
(17-1)/(2*2*2*2) = 1 ... step 4

より、長さ 8, 4, 2, 1 のガウス周期を順に作っていき、二次方程式を解いていく。

step 1

z_k (k=1, 2, ... , 16) を２つの集合に分けて足す（長さ 8 のガウス周期を作る）。

p₀ = z¹ + z⁹ + z¹³ + z¹⁵ + z¹⁶ + z⁸ + z⁴ + z² ( = ∑ z^{3^{2 i}}, i = 0 to 7 )

p₁ = z³ + z¹⁰ + z⁵ + z¹¹ + z¹⁴ + z⁷ + z¹² + z⁶ ( = ∑ z^{3^{2 i + 1}}, i = 0 to 7 )

べきだけ書き下すと、

p₀ : { 1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2 } = { 3⁰, 3², 3⁴, 3⁶, 3⁸, 3¹⁰, 3¹², 3¹⁴ } (mod 17)
p₁ : { 3, 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6 } = { 3¹, 3³, 3⁵, 3⁷, 3⁹, 3¹¹, 3¹³, 3¹⁵ } (mod 17)

ガウス周期の作り方を、もう少し簡単に説明すると、
まず、17の原始根をひとつ選び、1 から始めて順に原始根（この場合は 3）を掛けていく。
ただし、17よりも大きくなった場合は、17で割った余りとする。
この規則に従って、順に列挙すると、

1, 3, 9, 27=10, 30=13, 39=5, 15, 45=11, 33=16, 48=14, 42=8, 24=7, 21=4, 12, 36=2, 6, 18=1

となり、

1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6

という16個の数の列が得られる。
長さ 8 のガウス周期を作る場合は、

p₀ : 1 から順に 1 つおきにとっていく
p₁ : 3 から順に 1 つおきにとっていく

とすると、上記のような、

p₀ : { 1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2 } = { 3⁰, 3², 3⁴, 3⁶, 3⁸, 3¹⁰, 3¹², 3¹⁴ } (mod 17)
p₁ : { 3, 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6 } = { 3¹, 3³, 3⁵, 3⁷, 3⁹, 3¹¹, 3¹³, 3¹⁵ } (mod 17)

が得られる。

この p₀, p₁ について、

p₀+p₁ = -1 (1...16が全部出てくるので)
p₀p₁ = (計算すると) = -4

となるので、p₀, p₁ は、二次方程式、

p²+p-4 = 0

の解。

p₀, p₁ = (-1±sqrt(17))/2

図形的考察により（複素平面上の単位円上の p₀, p₁ の x 座標の比較により）、

p₁ < p₀

なので、

p0=(-1+sqrt(17))/2, p1=(-1-sqrt(17))/2

step 2

p₀, p₁ をさらに２つに分ける（長さ４のガウス周期を作る）。

q₀ = z¹ + z¹³ + z¹⁶ + z⁴    ( = ∑ z^{3^{4 i}},   i = 0 to 3 )
q₁ = z³ + z⁵ + z¹⁴ + z¹²    ( = ∑ z^{3^{4 i + 1}},   i = 0 to 3 )
q₂ = z⁹ + z¹⁵ + z⁸ + z²    ( = ∑ z^{3^{4 i + 2}},   i = 0 to 3 )
q₃ = z¹⁰ + z¹¹ + z⁷ + z⁶    ( = ∑ z^{3^{4 i + 3}},   i = 0 to 3 )

べきだけ書き下すと、

q₀ : { 1, 13, 16, 4 } = { 3⁰, 3⁴, 3⁸, 3¹² } (mod 17)
q₁ : { 3, 5, 14, 12 } = { 3¹, 3⁵, 3⁹, 3¹³ } (mod 17)
q₂ : { 9, 15, 8, 2 } = { 3², 3⁶, 3¹⁰, 3¹⁴ } (mod 17)
q₃ : { 10, 11, 7, 6 } = { 3³, 3⁷, 3¹¹, 3¹⁵ } (mod 17)

（注：それぞれ、足すと17になる組、２組から成っている）

ここで、

q₀+q₂=p₀, q₁+q₃=p₁

さらに、q₀q₂, q₁q₃は（計算すると）

q₀q₂= -1, q₁q₃= -1

となる。よって、q₀ と q₂, q₁ と q₃ はそれぞれ二次方程式、

q²-p₀q-1 = 0 (q₀, q₂)
q²-p₁q-1 = 0 (q₁, q₃)

の解。

q₀, q₂ = (p₀±sqrt(p₀²+4))/2
q₁, q₁ = (p₁±sqrt(p₁²+4))/2

ルートの中味を計算する。

とおくと、

p0=(-1+a)/2, p1=(-1-a)/2

p0^2=(1+a^2-2a)/4=(1+17-2a)/4=(9-a)/2
p0^2+4=((9-a)+8)/2=(17-a)/2=(34-2a)/4

よって、

q0, q2={(-1+a)/2 +/- sqrt(34-2a)/2)}/2
={(-1+a) +/- sqrt(34-2a)}/4

図形的考察により、

q2<q0

∴

q0=(-1+a+sqrt(34-2a))/4, q2=(-1+a-sqrt(34-2a))/4

同様に、

p1^2=(1+a^2+2a)/4=(1+17+2a)/4=(9+a)/2
p1^2+4=((9+a)+8)/2=(17+a)/2=(34+2a)/4

よって、

q1, q3={(-1-a)/2 +/- sqrt(34+2a)/4}/2
={(-1-a) +/- sqrt(2(17+a))}/4

図形的考察により、

q3<q1

∴

q1=(-1-a+sqrt(34+2a))/4, q3=(-1-a-sqrt(34+2a))/4

まとめると、

q0=(-1+a+sqrt(34-2a))/4
q1=(-1-a+sqrt(34+2a))/4
q2=(-1+a-sqrt(34-2a))/4
q3=(-1-a-sqrt(34+2a))/4
a=sqrt(17)

step 3

q₀, q₁, q₂, q₃ をさらに２つずつに分ける（長さ２のガウス周期を作る）。

r₀ = z¹ + z¹⁶    ( = ∑ z^{3^{8 i}},   i = 0 to 1 )
r₁ = z³ + z¹⁴    ( = ∑ z^{3^{8 i + 1}},   i = 0 to 1 )
r₂ = z⁹ + z⁸    ( = ∑ z^{3^{8 i + 2}},   i = 0 to 1 )
r₃ = z¹⁰ + z⁷    ( = ∑ z^{3^{8 i + 3}},   i = 0 to 1 )
r₄ = z¹³ + z⁴    ( = ∑ z^{3^{8 i + 4}},   i = 0 to 1 )
r₅ = z⁵ + z¹²    ( = ∑ z^{3^{8 i + 5}},   i = 0 to 1 )
r₆ = z¹⁵ + z²    ( = ∑ z^{3^{8 i + 6}},   i = 0 to 1 )
r₇ = z¹¹ + z⁶    ( = ∑ z^{3^{8 i + 7}},   i = 0 to 1 )

べきだけ書き下すと、

r₀ : { 1, 16 } = { 3⁰, 3⁸ } (mod 17)
r₁ : { 3, 14 } = { 3¹, 3⁹ } (mod 17)
r₂ : { 9, 8 } = { 3², 3¹⁰ } (mod 17)
r₃ : { 10, 7 } = { 3³, 3¹¹ } (mod 17)
r₄ : { 13, 4 } = { 3⁴, 3¹² } (mod 17)
r₅ : { 5, 12 } = { 3⁵, 3¹³ } (mod 17)
r₆ : { 15, 2 } = { 3⁶, 3¹⁴ } (mod 17)
r₇ : { 11, 6 } = { 3⁷, 3¹⁵ } (mod 17)

（注：それぞれ、足すと17になる組から成っている）

ここで、

r₀+r₄=q₀, r₁+r₅=q₁, r₂+r₆=q₂, r₃+r₇=q₃

さらに、r₀r₄, r₁r₅, r₂r₆, r₃r₇ は（計算すると）

r₀r₄=q₁, r₁r₅=q₂, r₂r₆=q₃, r₃r₇=q₀

となる。よって、r₀ と r₄, r₁ と r₅, r₂ と r₆, r₃ と r₇ はそれぞれ二次方程式、

r²-q₀r+q₁ = 0   (r₀, r₄)
r²-q₁r+q₂ = 0   (r₁, r₅)
r²-q₂r+q₃ = 0   (r₂, r₆)
r²-q₃r+q₀ = 0   (r₃, r₇)

の解。

r0, r4=(q0+/-sqrt(q0^2-4q1))/2,
r1, r5=(q1+/-sqrt(q1^2-4q2))/2, r2, r6=(q2+/-sqrt(q2^2-4q3))/2, r3, r7=(q3+/-sqrt(q3^2-4q0))/2

q₀²=(-1+a+sqrt(34-2a))²/16
     =(1+a²+(34-2a)-2a+2a.sqrt(34-2a)-2sqrt(34-2a))/16
     =(1+17 +34 -2a -2a+2a.sqrt(34-2a)-2sqrt(34-2a))/16
     =(52-4a+2a.sqrt(34-2a)-2sqrt(34-2a))/16


q₀²-4q₁={26-2a-sqrt(34-2a)+a.sqrt(34-2a)}/8 - (-1-a+sqrt(34+2a))
     ={26-2a-sqrt(34-2a)+a.sqrt(34-2a) +8(1+a-sqrt(34+2a))}/8
     ={26-2a-sqrt(34-2a)+a.sqrt(34-2a) +8+8a-8sqrt(34+2a)}/8
     ={34+6a-sqrt(34-2a)+a.sqrt(34-2a)-8sqrt(34+2a)}/8

∴
r₀,r₄=(q₀+/-sqrt(q₀²-4q₁))/2
     ={(-1+a+sqrt(34-2a))/4 +/- sqrt({68+12a-2sqrt(34-2a)+2a.sqrt(34-2a)-16sqrt(34+2a)}/16)}/2
      ={(-1+a+sqrt(34-2a)) +/- sqrt(68+12a-2sqrt(34-2a)+2a.sqrt(34-2a)-16sqrt(34+2a))}/8

これで解が求められたが、いろいろな資料に出ている値、

q1=(-1-a+sqrt(34+2a))/4, q3=(-1-a-sqrt(34+2a))/4

と見かけが異なる。計算してみると、値自体は正しい。

実は、a.sqrt(34-2a) を、sqrt(34-2a) と sqrt(34+2a) の一次結合で表すことができる。

a=sqrt(17)
a.sqrt(34-2a)=x.sqrt(34-2a)+y.sqrt(34+2a)

と置き、両辺をルート 2 で割ると、

a.sqrt(17-a)=x.sqrt(17-a)+y.sqrt(17+a)

両辺を２乗すると、

a²(17-a)= x²(17-a)+y²(17+a)+2xy.sqrt(17²-a²)
= x²(17-a)+y²(17+a)+2xy.sqrt(17²-17)
= x²(17-a)+y²(17+a)+2xy.sqrt(16.17)
= x²(17-a)+y²(17+a)+8xy.a

a と定数項の係数を比較すると、

x²+y²=17 ....... (1)
x²-8xy-y²=17 ... (2)

(1)から(2)を引く。

y(y+4x)=0

y=0 のとき、x²=17, x=sqrt(17)=a となり、自明な解となる。
y=-4x のとき、

x²+16x²=17
x=1, -1

x=1 のとき、y=-4 となるが、元の式に代入すると成り立たない。
x=-1 のとき、y=4 これは、成り立つ。

この値を代入する。最初に戻って、後ろのルートの中味

=68+12a-2sqrt(34-2a)-16sqrt(34+2a)-2sqrt(34-2a)+8sqrt(34+2a)
=68+12a-4sqrt(34-2a)-8sqrt(34+2a)
=4(17+3a-sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a))

よって、

r₀,r₄=(q₀+/-sqrt(q₀²-4q₁))/2
={(-1+a+sqrt(34-2a)) +/- sqrt(4(17+3a-sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a)))}/8
={(-1+a+sqrt(34-2a)) +/- 2sqrt(17+3a-sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a))}/8

となり、よく見かける式と同じ形になる。

r0=(-1+a+sqrt(34-2a) + 2sqrt(17+3a-sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a)))/8 
r4=(-1+a+sqrt(34-2a) - 2sqrt(17+3a-sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a)))/8

r₀,r₄=(q₀+/-sqrt(q₀²-4q₁))/2
r₁,r₅=(q₁+/-sqrt(q₁²-4q₂))/2
r₂,r₆=(q₂+/-sqrt(q₂²-4q₃))/2
r₃,r₇=(q₃+/-sqrt(q₃²-4q₀))/2

q₀²-4q₁ と並行して、q₁²-4q₂, q₂²-4q₃, q₃²-4q₀ の値を計算する。

a.sqrt(34+2a)=x.sqrt(34-2a)+y.sqrt(34+2a)

とおいて計算すると、

a.sqrt(34+2a)= 4sqrt(34-2a)+sqrt(34+2a)

となる。

q02=(13-a-sqrt(34-2a)+2sqrt(34+2a))/4 
q12=(13+a-2sqrt(34-2a)-sqrt(34+2a))/4 
q22=(13-a+sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a))/4 
q32=(13+a+2sqrt(34-2a)+sqrt(34+2a))/4

より、

q₁²-4q₂=(13+a-2sqrt(34-2a)-sqrt(34+2a))/4 - 4(-1+a-sqrt(34-2a))/4
=(13+a-2sqrt(34-2a)-sqrt(34+2a)+4-4a+4sqrt(34-2a))/4
=(17-3a+2sqrt(34-2a)-sqrt(34+2a))/4

q₂²-4q₃=(13-a+sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a))/4 - 4(-1-a-sqrt(34+2a))/4
=(13-a+sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a)+4+4a+4sqrt(34+2a))/4
=(17+3a+sqrt(34-2a)+2sqrt(34+2a))/4

q₃²-4q₀=(13+a+2sqrt(34-2a)+sqrt(34+2a))/4 - 4(-1+a+sqrt(34-2a))/4
=(13+a+2sqrt(34-2a)+sqrt(34+2a))/4+4-4a-4sqrt(34-2a))/4
=(17-3a-2sqrt(34-2a)+sqrt(34+2a))/4

r₀,r₄=(q₀+/-sqrt(q₀²-4q₁))/2
={(-1+a+sqrt(34-2a)) +/- 2sqrt(17+3a-sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a))}/8

r₁,r₅=(q₁+/-sqrt(q₁²-4q₂))/2
={(-1-a+sqrt(34+2a)) +/- 2sqrt(17-3a+2sqrt(34-2a)-sqrt(34+2a))}/8

r₂,r₆=(q₂+/-sqrt(q₂²-4q₃))/2
={(-1+a+sqrt(34-2a)) +/- 2sqrt(17+3a+sqrt(34-2a)+2sqrt(34+2a))}/8

r₃,r₇=(q₃+/-sqrt(q₃²-4q₀))/2
={(-1-a-sqrt(34+2a)) +/- 2sqrt(17-3a-2sqrt(34-2a)+sqrt(34+2a))}/8

まとめると、

step 4

最後のステップ：z₁, ... , z₁₆ を求める。

r₀=z₁+z₁₆, r₄=z₁₃+z₄
r₁=z₃+z₁₄, r₅=z₅+z₁₂
r₂=z₉+z₈, r₆=z₁₅+z₂
r₃=z₁₀+z₇, r₇=z₁₁+z₆

z₁+z₁₆=2Re(z₁) より、

Re(z₁)=Re(z₁₆)=r₀/2

同様に、

Re(z₃)=Re(z₁₄)=r₁/2, Im(z₃, z₁₄)= ±sqrt(1-(r₁)²),   Im(z₃) がプラス
Re(z₉)=Re(z₈)=r₂/2 , Im(z₉, z₈)= ±sqrt(1-(r₂)²),   Im(z₈) がプラス
Re(z₁₀)=Re(z₇)=r₃/2, Im(z₁₀, z₇)= ±sqrt(1-(r₃)²),   Im(z₇) がプラス
Re(z₁₃)=Re(z₄)=r₄/2, Im(z₁₃, z₄)= ±sqrt(1-(r₄)²),   Im(z₄) がプラス
Re(z₅)=Re(z₁₂)=r₅/2, Im(z₅, z₁₂)= ±sqrt(1-(r₅)²),   Im(z₅) がプラス
Re(z₁₅)=Re(z₂)=r₆/2, Im(z₁₅, z₂)= ±sqrt(1-(r₆)²),   Im(z₂) がプラス
Re(z₁₁)=Re(z₆)=r₇/2, Im(z₁₁, z₆)= ±sqrt(1-(r₇)²),   Im(z₇) がプラス

虚部の符号は、上半平面にある z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆, z₇, z₈ がプラス、
下半平面にある z₉, z₁₀, z₁₁, z₁₂, z₁₃, z₁₄, z₁₅, z₁₆ がマイナスとなる。

r₀=(-1+a+sqrt(34-2a))/8=s/8

とおくと、

Re(z)=r₀/2=s/16
Im(z)=sqrt(1-s²/16²)
=sqrt(16²-s²)/16

となる。

b=sqrt(34-2a), c=sqrt(34+2a),
d1=sqrt(17+3a-sqrt(34-2a)-2sqrt(34+2a))=sqrt(17+3a-b-2c),
d2=sqrt(17-3a+2sqrt(34-2a)-sqrt(34+2a))=sqrt(17-3a+2b-c),
d3=sqrt(17+3a+sqrt(34-2a)+2sqrt(34+2a))=sqrt(17+3a+b+2c),
d4=sqrt(17-3a-2sqrt(34-2a)+sqrt(34+2a))=sqrt(17-3a-2b+c)

とおくと、r₀, ... , r₇ の分子は、

r₀= -1+a+b+2d₁, r₀²= 1+a²+b²+2ab-2a-2b+4d₁²-4d₁+4ad₁+4bd₁
r₄= -1+a+b-2d₁, r₄²= 1+a²+b²+2ab-2a-2b+4d₁²+4d₁-4ad₁-4bd₁

r₁= -1-a+c+2d₂, r₁²= 1+a²+c²-2ac+2a-2c+4d₂²-4d₂-4ad₂+4cd₂
r₅= -1-a+c-2d₂, r₅²= 1+a²+c²-2ac+2a-2c+4d₂²+4d₂+4ad₂-4cd₂

r₂= -1+a-b-2d₃, r₂²= 1+a²+b²-2ab-2a+2b+4d₃²+4d₃-4ad₃+4bd₃
r₆= -1+a-b+2d₃, r₆²= 1+a²+b²-2ab-2a+2b+4d₃²-4d₃+4ad₃-4bd₃

r₃= -1-a-c-2d₄, r₃²= 1+a²+c²+2ac+2a+2c+4d₄²+4d₄+4ad₄+4cd₄
r₇= -1-a-c+2d₄, r₇²= 1+a²+c²+2ac+2a+2c+4d₄²-4d₄-4ad₄-4cd₄

ab, ac は前の計算により、b と c の一次結合で表すことができる。

ab=a.sqrt(34-2a)= -sqrt(34-2a)+4sqrt(34+2a)=-b+4c
ac=a.sqrt(34+2a)= 4sqrt(34-2a)+sqrt(34+2a)=4b+c

d_j² (j=1,2,3,4) は、定数、a, b, c の一次結合
a²=17, b²=34-2a, c²=34+2a
a.d_j, b.d_j, c.d_j (j=1,2,3,4) はこのまま

よって、ルート内は、

定数, a, b, c, dj, adj, bdj, cdj

の最大８つの項で構成されるはず。

r₀²= 1+a²+b²+2ab-2a-2b+4d₁²-4d₁+4ad₁+4bd₁
= 1+17+34-2a+2(-b+4c)-2a-2b+4(17+3a-b-2c) -4d₁+4ad₁+4bd₁
= 120+8a-8b -4d₁+4ad₁+4bd₁

256-r₀²=256-(120+8a-8b -4d₁+4ad₁+4bd₁)
= 136-8a+8b+4d₁-4ad₁-4bd₁
= 4(34-2a+2b+d₁-ad₁-bd₁)

ここで、d₁-ad₁-bd₁ を簡略化することができる。
２乗すると、

(d₁-ad₁-bd₁)² = d₁²(1-a-b)²
= (17+3a-b-2c) (1+a²+b²-2a-2b+2ab)
= (17+3a-b-2c) (1+17+34-2a-2a-2b-2b+8c)
= (17+3a-b-2c) (52-4a-4b+8c)
= 272+48a+16b+32c
= 4²(17+3a+b+2c)

ここで、d₁-ad₁-bd₁ は負なので、

d₁-ad₁-bd₁
= - sqrt((d₁-ad₁-bd₁)²)
= - 4sqrt(17+3a+b+2c)
= - 4d₃

実際に数値計算をやってみると、確かに、

d₁-ad₁-bd₁ = - 4d₃

であることがわかる。
以上より、

z1= (-1+a+b+2d1 + 2sqrt(34-2a+2b-4d3)i)/16 
z16= (-1+a+b+2d1 - 2sqrt(34-2a+2b-4d3)i)/16

残りは、

r₄²= 1+a²+b²+2ab-2a-2b+4d₁²+4d₁-4ad₁-4bd₁
= 1+17+(34-2a)+2(-b+4c)-2a-2b+4(17+3a-b-2c)+4d₁-4ad₁-4bd₁
= 120+8a-8b+4d₁-4ad₁-4bd₁
= 120+8a-8b-16d₃

∴
z4= (-1+a+b-2d1 + 2sqrt(34-2a+2b+4d3)i)/16 
z13= (-1+a+b-2d1 - 2sqrt(34-2a+2b+4d3)i)/16 

r₁²= 1+a²+c²-2ac+2a-2c+4d₂²-4d₂-4ad₂+4cd₂
= 1+17+(34+2a)-2(4b+c)+2a-2c+4(17-3a+2b-c)-4d₂-4ad₂+4cd₂
= 120-8a-8c-4d₂-4ad₂+4cd₂

d₂+ad₂-cd₂ も同じ要領で簡略化することができて、

d₂+ad₂-cd₂ = -4d₄

となる。よって、

120-8a-8c-4d₂-4ad₂+4cd₂
= 120-8a-8c+16d₄

∴
 z3= (-1-a+c+2d2 + 2sqrt(34+2a+2c-4d4)i)/16 
z14= (-1-a+c+2d2 - 2sqrt(34+2a+2c-4d4)i)/16 

r₅²= 1+a²+c²-2ac+2a-2c+4d₂²+4d₂+4ad₂-4cd₂
= 1+17+(34+2a)-2(4b+c)+2a-2c+4(17-3a+2b-c)+4d₂+4ad₂-4cd₂
= 120-8a-8c+4d₂+4ad₂-4cd₂
= 120-8a-8c-16d₄

∴
 z5= (-1-a+c-2d2 + 2sqrt(34+2a+2c+4d4)i)/16 
z12= (-1-a+c-2d2 - 2sqrt(34+2a+2c+4d4)i)/16 

r₂²= 1+a²+b²-2ab-2a+2b+4d₃²+4d₃-4ad₃+4bd₃
= 1+17+(34-2a)-2(-b+4c)-2a+2b+4(17+3a+b+2c)+4d₃-4ad₃+4bd₃
= 120+8a+8b+4d₃-4ad₃+4bd₃
= 120+8a+8b+16d₁

∴
 z8= (-1+a-b-2d3 + 2sqrt(34-2a-2b-4d1)i)/16 
z9= (-1+a-b-2d3 - 2sqrt(34-2a-2b-4d1)i)/16 

r₆²= 1+a²+b²-2ab-2a+2b+4d₃²-4d₃+4ad₃-4bd₃
= 1+17+(34-2a)-2(-b+4c)-2a+2b+4(17+3a+b+2c)-4d₃+4ad₃-4bd₃
= 120+8a+8b-4d₃+4ad₃-4bd₃
= 120+8a+8b-16d₁

∴
 z2= (-1+a-b+2d3 + 2sqrt(34-2a-2b+4d1)i)/16 
z15= (-1+a-b+2d3 - 2sqrt(34-2a-2b+4d1)i)/16 

r₃²= 1+a²+c²+2ac+2a+2c+4d₄²+4d₄+4ad₄+4cd₄
= 1+17+(34+2a)+2(4b+c)+2a+2c+4(17-3a-2b+c)+4d₄+4ad₄+4cd₄
= 120-8a+8c+4d₄+4ad₄+4cd₄
= 120-8a+8c+16d₂

∴
 z7= (-1-a-c-2d4 + 2sqrt(34+2a-2c-4d2)i)/16 
z10= (-1-a-c-2d4 - 2sqrt(34+2a-2c-4d2)i)/16 

r₇²= 1+a²+c²+2ac+2a+2c+4d₄²-4d₄-4ad₄-4cd₄
= 1+17+(34+2a)+2(4b+c)+2a+2c+4(17-3a-2b+c)-4d₄-4ad₄-4cd₄
= 120-8a+8c-4d₄-4ad₄-4cd₄
= 120-8a+8c-16d₂

∴
 z6= (-1-a-c+2d4 + 2sqrt(34+2a-2c+4d2)i)/16 
z11= (-1-a-c+2d4 - 2sqrt(34+2a-2c+4d2)i)/16