楕円曲線上の有理点

楕円曲線上の有理点（いろいろな不定方程式の解）: ('08/03/09)

(楕円曲線上の有理点、及び、いろいろな不定方程式の解のリンクはこちら)

x, y, z に関する下記のような不定方程式は、 ひじょうに多くの整数解・有理数解、
及び、大きい整数解・有理数解を持つ場合があります。

y2 = x3 + b	y2 = x3 + ax	X3 + Y3 = A
y2 = Dx4+1	y2 = x3 - D2x	y2 = x(x+1)(x+n)
y2 = (x+p)(x2+p2)	(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n	x/y+y/z+z/x=n

例えば、

[例１]  y² = x³ + n の整数解

n = -3807 の時は22個

(16, ±17),   (18, ±45),   (27, ±126),    (36, ±207),   (126, ±1413),    (142, ±1691),
(162, ±2061),   (316, ±5617),   (927, ±28224),    (1306, ±47197),   (37368, ±7223535)

n = 1025 の時は32個

(-10, ±5),   (-5, ±30),   (-4, ±31),    (-1, ±32),   (4, ±33),    (10, ±45),   (20, ±95),
(40, ±255),   (50, ±355),    (64, ±513),   (155, ±1930),    (166, ±2139),
(446, ±9419),   (920, ±27905),   (3631, ±218796),    (3730, ±227805),   

[例２]  x³ + y³ = n の有理数解  （x³ + y³ = n z³ の整数解）

n = 43 の時は

(x, y, z) = (7, 1, 2)

だが、n = 94 の時は

(x, y, z) = (15642626656646177, -15616184186396177, 590736058375050)

[例３]  (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n の整数解

n=100の時は

(x, y, z)=(5, -56, 595)

だが、n= -100 の時は

(x, y, z) = (4450012553, 219887106322, -663397965750)

[例４]  x/y+y/z+z/x=n の整数解

n=40の時は

(x, y, z)=(2, -36, 81)

だが、n= -40 の時は

(x, y, z) = (126763588, 31487624080, -4096748425)

[例５]  三辺が有理数、面積が整数値を取るような直角三角形（合同数）

三辺が (3, 40/3, 41/3) の時、面積は 5
三辺が (3, 4, 5) の時、面積は 6
三辺が (35/12, 24/5, 337/60) の時、面積は 7
（最初の２つが直角を挟む辺の長さ、３つ目は斜辺の長さを表す）

面積が 53 になるのは、三辺が

1472112483 / 202332130,  
21447205780 / 1472112483,  
4850493897329785961 / 297855654284978790

のとき。

これらの不定方程式の解は、楕円曲線上の有理点を求めることによって解くことができます。

プログラム ('00/08/07)

1. torsion.ub

整数点、torsion point を探索します。torsion については order を求めます。


• y²=x³+1
• y²=x³+4x

あたりを試してみてください。
discriminant が大きい場合は、ひじょうに時間がかかります。
2. r_int.ub

-r₀≦ｘ≦10⁹ の範囲で、整数点を探索します。 （r₀ は、x³+ax+b=0 の実根）
一見、しらみつぶししかないように見えますが、あるテクニックを使って高速化しています。
torsion については order も求めます。

• y²=x³+17
• y²=x³+225
• y²=x³+2089
• y²=x³+11530025

あたりを試してみてください。
torsion を求めるだけの目的でも、上のプログラムよりこちらの方が高速です。
3. r_sievex.ub

定められた naive height の範囲で、有理点を探索します。
例えばレベル２の場合、max{-r₀,-22026}≦ｘ≦22026、1≦ｚ≦148 の範囲を探索します。
これも、単純ループと２乗判定以外に手はないように見えますが、
あるテクニックを使って、単純ループの６〜７倍ほど、高速化しています。

• y²=x³+2089
• y²=x³-25x

あたりを試してみてください。