博士の愛さない方程式

　小川洋子『博士の愛した数式』で語られているのは「オイラーの公式」である。
　　ｅ^π�@＋１＝０
　同じことだがこれは
　　ｅ^π�@＝−１
とも書ける。これの両辺の√を取ると、
　　ｅ^π�@/2＝�@
こうすると、両辺に�@が現れる。さらにこれを拡張して、両辺の�@をｚに置き換えると、
　　ｅ^πｚ／２＝±ｚ　　　（１）
　これは未知数ｚに関する方程式と考えることができる。その場合、「オイラーの公式」は、この方程式のｚ＝�@という一つの解ということになる。つまり、「博士の愛した数式」にルート（√）が絡むと「博士の愛さない方程式」になるのである。
　この方程式（１）について考えてみる。未知数ｚは一般に複素数である。
　　ｚ＝x＋�@ｙ，　（ｘ，ｙ）は実数
　また±ｚは符号の違いだけなので、以下では＋の場合だけ考える。
　　ｅ^πｚ／２＝ｚ
　これは
　これらの２乗を加え合わせると、
　　ｅ^πｘ＝ｘ²＋ｙ²
　これをｙについて解けば
　　ｙ＝√ｅ^πｘ−ｘ²＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　（ここでも±を省略）
　これは複素空間における方程式（１）の解曲線である。そしてｚ＝�@（ｘ＝０，ｙ＝１）はそれの一つの純虚数解である（もう一つはｚ＝−�@）。
　ｙ＝０　のときの解をｘ_Rとする。これは（１）の唯一の実数解である。
　　ｅ^πｘR−ｘ_R²＝０ 　or　ｅ^πｘR/2−ｘ_R＝０
　　ｘ_R〜-0.47454　（数値的に求めた近似解）
　ｘ＜ｘ_Rには解はない。


図１　ｙ＝√ｅ^πｘ−ｘ²＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿


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