授時暦儀の冬至の決定法


Abstract
 わが国で最初のオリジナルの暦は渋川春海によって作られた「貞享暦」である。これは1685(貞享2)年から1754(宝暦4)まで用いられた。これを作成するにあたって春海が手本としたのが元代の「授時暦」であった。
 当時の暦作成には冬至の時刻を知ることが重要であったが、「授時暦儀」という、授時暦について書かれた書物にその方法が示されている。要約すれば、冬至の前後に太陽南中時の影の長さを測り、それを按分して冬至時刻を求めるものである。
 影の長さの測定は5毛(寸の5/1000=0.15mm?)という神業のような精密なものであったようだ。一方、按分計算は現代から見ればいささか不完全の感を拭えない。このため折角の精密な測定が生かされず、その誤差はより粗い精度(たとえば0.1寸=3mm)の測定値で計算方法を精緻化した場合と同程度である。
 このことが渋川春海およびそれ以降のわが国の暦法にとって持つ意味を考えてみたい。

 内田正男著「理科年表読本 こよみと天文・今昔」pp78-79に、授時暦儀における冬至の決定法が載っている。
 その方法は、地面に垂直に、高さの棒を立てる。これを表といった。冬至よりt1日以前の正午、太陽が南中したときの影の長さh1を測っておく。次に冬至を過ぎたt2日とt3日の南中時の影の長さh2、h3を測る。t1は任意であるが、t2、t3はh2、h3の間にh1が入るように選ぶ。t2とt3の間では、真正午の影の長さは直線的に変化するとすれば、h2とh3の間でh1と等しくなる時刻t0
で求まる。
が冬至の時刻である。

 この後、次のような実例が載っている。
至元14年(1277)丁丑歳
    11月14日景長 7丈9尺4寸8分5厘5毛
    11月21日景長 7丈9尺5寸4分1厘0毛
    11月22日景長 7丈9尺4寸5分5厘0毛
これより500年程前に吉備真備が大衍暦(だいえんれき)とともに、やはり冬至の影を計るための「測影鉄尺」を持ち帰ったというが、長さは8尺(2.4m)であったという
 また、影の長さを5毛(0.15mm?)まで測定しているというのも、信じられないような精度だ。太陽自体が30′程の視直径があるので、影には半影の部分があって、影の境界はぼやけるはずだから、これは神業としか思えない。後世の渋川春海による測定の精度は到底これに及ばなかったというが、無理もないところである。

 ともあれ、t1,t2,t3はすべて正午なので、1日0時をt=1.0、2日0時をt=2.0、・・とし、影の長さを毛の単位で表わせば、
 上の「授時暦儀」の方法によれば、これらから

 「近代的計算法」では、hを放物線で近似するだろう。つまり、
  h=at2+bt+c
 3つの時刻ti(i=1,2,3)についての連立方程式
  hi=ati2+bti+c
を解けば、係数a,b,cが得られる。そして放物線の性質から、冬至の時刻は
である。
 とりあえずcは必要ないので、i=2の式からi=1の式を引いたものと、i=3の式からi=1の式を引いたものでa,bの連立方程式を立てる。
 これらから、  「授時暦儀」の冬至の時刻にはこの程度の誤差があることになる。

 今、
  t=t2+Δt
とすれば、上の放物線式はt2の近くでは
  h=a(t2+Δt)2+b(t2+Δt)+c
   =h2+(2a+b)Δt+aΔt2
 ここでΔt2の項を無視すれば「授時暦儀」の方法と一致する。しかしこれを無視すると20分程の誤差を生ずるわけである。

 ところで、影の長さを分のオーダーで四捨五入してみる。すなわち
 すなわち、「授時暦儀」の方法より誤差は小さいのである。

 渋川春海は授時暦を基にして「貞享暦」を作った。このとき、
 渋川春海が日本で行った観測は、到底授時暦の値におよばなかった。彼は形式的に冬至の観測を行ったが、使用した数値は、授時暦のものであった。
内田正男著「理科年表読本 こよみと天文・今昔」pp79

 しかし上で述べたように、観測精度が低くて分(3mm)のオーダー程度であったとしても、計算方法を改良すれば授時暦並の精度を保つことができたはずである。
 八代将軍吉宗は延享2年(1745)家重に将軍職を譲り、いわゆる大御所といわれるようになると、前々から深い関心を持っていた天文・暦学に心を傾ける余暇も多くなり、西洋天文学を取り入れた革新的な改暦への意欲を強くしていった。関孝和の高弟、算学の天才建部賢弘を学問の顧問にかかえて、何かと諮問して知識を深めた。
内田正男著「理科年表読本 こよみと天文・今昔」pp112

 関孝和や建部賢弘なら、今なら高校生でもできそうな放物線近似くらいは簡単だったろう。歴史に「れば、たら」はないというが、それでも、もしこのような発想があったなら、日本の暦学も随分違っていたのではなかろうか。関孝和と渋川春海はほぼ同年代である。

2005.6.4