まず、 ${\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{1}{\sin x}\, dx }$ を考えよう。
これを、オイラーの公式(${e^{ix} = \cos x + i \sin x}$)を用いて、 \begin{equation*} \int_{x_0}^x \frac{1}{\sin x}\, dx = \int_{x_0}^x \frac{2i}{(e^{ix} - e^{-ix})} \, dx \end{equation*} と書き直す。 ここで、 ${e^{ix} = t}$，${e^{ix_0} = t_0}$とおくと、 \begin{equation*} e^{-ix} = \frac{1}{t}, \quad \frac{d t}{dx} = i e^{ix} = i t　\Rightarrow \ dx = \frac{d t}{ i t} \end{equation*} だから、 \begin{eqnarray*} \int_{x_0}^x \frac{1}{\sin x}\, dx &=& \int_{t_0}^t \frac{2}{t^2 - 1} \, dt \nonumber \\ &=& \int_{t_0}^t \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right) \, dt \nonumber \\ &=& \ln \left\{\left( \frac{t-1}{t+1} \right)\left( \frac{t_0+1}{t_0-1} \right) \right\} \nonumber \\ &=& \ln \left\{ \left( \frac{e^{ix}-1}{e^{ix}+1} \right) \left( \frac{e^{ix_0}+1}{e^{ix_0}-1} \right) \right\} \nonumber \\ &=& \ln \left\{ \left( \frac{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}{e^{ix/2}+e^{-ix/2}}\right)\left( \frac{e^{ix_0/2}+e^{-ix_0/2}}{e^{ix_0/2}-e^{-ix_0/2}}\right) \right\} \nonumber \\ &=& \ln \left( \frac{\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{x_0}{2}} \right) \end{eqnarray*} ここで、 \begin{equation*} \frac{\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{x_0}{2}} > 0 \quad なので、\quad \frac{\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{x_0}{2}} = \frac{\left|\tan\frac{x}{2}\right|}{\left|\tan\frac{x_0}{2}\right|} \quad を得る。 \end{equation*} ゆえに、 \[ \int_{x_0}^x \frac{1}{\sin x}\, dx = \ln \left|\tan\frac{x}{2}\right| - \ln \left|\tan\frac{x_0}{2}\right| \] を得る。 不定積分で表すと、 \[ \int \frac{1}{\sin x}\, dx = \ln \left|\tan\frac{x}{2}\right| + C \] となる。