まず、 ${\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{1}{\cos x}\, dx }$ を考えよう。 これを、${e^{ix} = \cos x + i \sin x}$を用いて、 \begin{equation*} \int_{x_0}^x \frac{1}{\cos x}\, dx = \int_{x_0}^x \frac{2}{(e^{ix} + e^{-ix})} \, dx \end{equation*} 書き直す。 ここで、 ${e^{ix} = t}$，${e^{ix_0} = t_0}$とおくと、 \begin{equation*} e^{-ix} = \frac{1}{t}, \quad \frac{d t}{dx} = i e^{ix} = i t　\Rightarrow \ dx = \frac{d t}{ i t} \end{equation*} だから、 \begin{eqnarray*} \int_{x_0}^x \frac{1}{\cos x}\, dx &=& -\int_{t_0}^t \frac{2i}{t^2 + 1} \, dt \nonumber \\ &=& \int_{t_0}^t \left( \frac{1}{t+i} - \frac{1}{t-i} \right) \, dt \nonumber \\ &=& \ln \left\{\left( \frac{t+i}{t-i} \right)\left( \frac{t_0-i}{t_0+i} \right) \right\} \nonumber \\ &=& \ln \left\{ \left( \frac{e^{ix}+i}{e^{ix}-i} \right) \left( \frac{e^{ix_0}-i}{e^{ix_0}+i} \right) \right\} \nonumber \\ &=& \ln \left\{ \left( \frac{e^{ix}+e^{\pi i/2}}{e^{ix}-e^{\pi i/2}} \right) \left( \frac{e^{ix_0}-e^{\pi i/2}}{e^{ix_0}+e^{\pi i/2}} \right) \right\} \nonumber \\ &=& \ln \left\{ \left( \frac{e^{i(x/2-\pi/4)}+e^{-i(x/2-\pi/4)}}{e^{i(x/2-\pi/4)}-e^{-i(x/2-\pi/4)}}\right) \left( \frac{e^{i(x_0/2-\pi/4)}-e^{-i(x_0/2-\pi/4)}}{e^{i(x_0/2-\pi/4)}+e^{-i(x_0/2-\pi/4)}}\right) \right\} \nonumber \\ &=& \ln \left( \frac{\tan\left(\frac{x_0}{2}- \frac{\pi}{4}\right)}{\tan\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{4}\right)} \right) \nonumber \\ &=& \ln \left( \frac{\cot\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{4}\right)} {\cot\left(\frac{x_0}{2}- \frac{\pi}{4}\right)} \right) \nonumber \end{eqnarray*} ところが、 \begin{equation*} \frac{\tan\left(\frac{x_0}{2}- \frac{\pi}{4}\right)}{\tan\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{4}\right)} > 0 \quad なので、\quad \frac{\tan\left(\frac{x_0}{2}- \frac{\pi}{4}\right)}{\tan\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\left|\tan\left(\frac{x_0}{2}- \frac{\pi}{4}\right)\right|}{\left|\tan\left(\frac{x}{2}- \frac{\pi}{4}\right)\right|} \quad を得る。 \end{equation*} ゆえに、 \begin{eqnarray*} \int_{x_0}^x \frac{1}{\cos x}\, dx &=& -\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \right| + \ln \left|\tan\left(\frac{x_0}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right| \\ &=& \ln \left|\cot \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \right| + \ln \left|\cot\left(\frac{x_0}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right| \end{eqnarray*} を得る。 不定積分で表すと、 \begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\cos x}\, dx &=& -\ln \left|\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)\right| + C \\ &=& \ln \left|\cot\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)\right| + C \end{eqnarray*} となる。 ところで、${\displaystyle \left|\cot\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)\right| }$には、いろいろな表し方がある。 \begin{eqnarray*} \left|\cot\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)\right| &=& \left|\frac{\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)}{\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)}\right| \\ \\ &=& \left|\frac{ \cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2} }{\sin \frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2} }\right| \\ \\ &=& \sqrt{\frac{ \left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)^2 }{\left(\sin \frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2 } }\\ \\ &=& \sqrt{\frac{1+ 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} }{1 - 2\sin \frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} } }\\ \\ &=& \sqrt{\frac{1+ \sin x }{1 - \sin x} } \end{eqnarray*} そこで、 \[ \int \frac{1}{\cos x}\, dx = \frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+ \sin x }{1 - \sin x} \right) + C \] と表すこともできる。