積分値を求めるためにパラメータの 微分をおこなう(differentiate parameters under the integral sign) 方法は、ファインマンのトリック(Feynman's trick)として知られている。 前回の 「ガウス積分」 は、この方法によるものだった。

　ファインマンのテクニックを用いてガウス積分の値を求める方法は、 「ガウス積分」 に書いた方法を含め、様々な提案がなされている。

同工異曲に思われるかも知れないが、ファインマンのテクニックを用いた別の方法を 示そう。

　前回と同様に、 ${\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx }$ の代わりに、 \[ I = \int_{0}^\infty e^{-x^2} \, dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx \] を求める。 そのために、${a > 0}$として、 \[ f(a) = \int_0^\infty e^{-ax^2}\, dx　 \] と置く。すると、 \[ f(a) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_0^\infty e^{-\left(\sqrt{a} x\right)^2}\, d\left(\sqrt{a} x\right) \] だから、 \begin{equation} f(a) = \frac{I}{\sqrt{a}} \end{equation} が成り立つ。 ここで、 \begin{equation} F(a) = \int_0^\infty \frac{e^{-a(x^2+1)}}{x^2+1} \, dx \label{eq:F(a)} \end{equation} とおいて$a$で微分すると、 \begin{eqnarray} \frac{d F(a)}{da} &=& - \int_0^\infty e^{-a(x^2+1)} \, dx \\ &=& - e^{-a} f(a) \\ &=& - \frac{e^{-a}}{\sqrt{a}}\, I \end{eqnarray} この両辺を$a$について$0$から${\infty}$まで積分する。 \begin{equation} \int_0^\infty \frac{d F(a)}{da}\, da = - \int_0^\infty \frac{e^{-a}}{\sqrt{a}}\, da \times I \label{eq:int_F'(a)} \end{equation} ところが、右辺の積分は、${a = x^2}$とおくと、 \[ \int_0^\infty \frac{e^{-a}}{\sqrt{a}}\, da = 2 \int_0^\infty e^{-x^2}\, dx = 2 I \] だから、(\ref{eq:int_F'(a)})式は、 \[ F(\infty) - F(0) = -2 I^2 \] となる。ところが、(\ref{eq:F(a)})式より、 \[ F(\infty) = 0, \quad F(0) = \int_0^\infty \frac{1}{x^2+1} \, dx \] なので、 \begin{eqnarray*} I^2 &=& \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{1}{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*} を得る。この式の右辺の積分は、${x = \tan \theta}$とおくと、 \begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+ \tan^2 \theta} \,\frac{d \theta}{\cos^2 \theta} &=& \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} d \theta \label{eq:I^2} \end{eqnarray*} となるので、 \[ I^2 = \frac{\pi}{4} \] を得る。ゆえに、 \[ \int_0^\infty e^{-x^2}\, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] すなわち、 \[ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi} \] を得る。