二面舗装水路の等流計算

ここでは、二面舗装の水路断面として、次のような台形断面を想定している。

台形断面の底部の粗度係数＝ｎ_１　側面の粗度係数＝ｎ_２　とする。

この場合は、Ｍａｎｎｉｎｇの公式の粗度係数を、側面と底部の潤辺に対する合成粗度係数として求めたものを使用する。

合成粗度係数　ｎ_ｉ　の一般式は、
　であるので、

二面舗装の水路の場合は、
　によって求められる。

したがって、
　（式−０）

この　ｎ_ｉ　を　Ｍａｎｎｉｎｇの公式の　ｎ　として計算すればよい。

　 　(式−１)　　　　　　　　　　

　　　　　　（式−２）　

　　　　　　（式−３）　　　　　（式−４）　

　　　（式−５）　　　又は、　　　（式−６）

ここで、各記号は次のことを示している。

　　　　　Ｑ：流量
　　　　　Ｖ：平均流速
　　　　　ｎ：合成粗度係数
           R：径深（水理学的平均水深とも言う。　流積を潤辺で割ったもの）
　　　　　Ｓ：潤辺（水路断面において、水が周囲の壁や底と接する長さ。）下の図の---の長さ。
　　　　　Ａ：水路における流水の断面積　
　　　　　Ｉ：動水勾配　ｈ_ｆ/Ｌ　（ｈ_ｆ：エネルギー損失　　　Ｌ：水路延長）
　　　　　　但し、等流では、動水勾配＝水面勾配＝水路床勾配であるので、計算には水路床勾配を用いることが多い。　　

Let's try!

課題 1　台形断面水路の流速と流量を求めてみよう。

計算の手順

　手順１　　計算に必要な、水路の断面形状のデーターと勾配のデーターを整理する。
　　　　　　　水路の幅と高さ、法面の勾配、水路底面の勾配（縦断図から、高さ（）：長さ（ｌ）の比を求める。）　を求める。
　手順２　　水路の材質や表面の凹凸、水路内の草など植生の状況などから、設計基準などの表を参考に粗度係数を求める。　
　手順３　　データーがそろったところで、まず、流水の面積（流積）を求める。→（式−２）
　手順４　　潤辺を求めよう。潤辺は、上の断面図の赤線部分となる。　→（式−４）
　手順５　　底部と側面の粗度係数から合成粗度係数を求める。（式−０）
　手順６　　水路の勾配を求よう。予め手順１で勾配が直接与えられているときは、その値を用いる。
　　　　　　　水路勾配　Ｉ＝ｈ/ｌ　または、設計で与えられた勾配を求める。
　　　　　　　（注意　設計で勾配が例えば１：２００のように与えられた場合は、
　　　　　　　ｈ：ｌ＝１：２００の意味なので、勾配Ｉ＝１／２００＝0.005と計算する。）
　手順７　　面積（流積）と潤辺から径深（Ｒ）を求める。→（式−３）
　手順８　　手順１〜７までで求めた値を使って、式−５または式−６から、まず流速（Ｖ）を求める。
　手順９　　求めた流速に流積をかけて、式−１から流量（Ｑ）を求める。
　　　　　　　　　　　　　　　

計算。

計算結果

課題　２　決められた水深で必要な流量を流すために設定しなければならない水路の勾配を求める。

計算の手順

　手順１　　計算に必要な、水路の断面形状のデーターと勾配のデーターを整理する。
　　　　　　　水路の幅と高さ、法面の勾配、設計で流す流量を求める。
　手順２　　水路の材質や表面の凹凸、水路内の草など植生の状況などから、設計基準などの表を参考に粗度係数を求める。　
　手順３　　データーがそろったところで、まず、流水の面積（流積）を求めよう。→（式−２）
　手順４　　潤辺を求める。　→（式−４）
　手順５　　底部と側面の粗度係数から合成粗度係数を求める。（式−０）
　手順６　　面積（流積）と潤辺から径深（Ｒ）を求める。→（式−３）
　手順７　　勾配を求めるため、式−１及び式−５を勾配（Ｉ）　について整理する。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　したがって、一番左の式と一番右の式を整理して
　　　　　　　　　から　　が求められる。
　　　　　　　　

　 手順８　　求めた勾配（Ｉ） の値を使って、式−５または式−６から、流速（Ｖ）も求める。
　

計算

計算結果

注意　水路の勾配は普通　［１；ｍ］または［ｍ分の１］の形で表されるので、ｍ＝１/Ｉ　から　ｍを求める。

課題 ３　台形断面水路の等流水深を求める。

数当てゲーム方式の試算による解法

　長方形や台形断面の等流水深の項では「ニュートン・ラフソン法」を用いて解を求めたが、この方法では関数が複雑になった場合に微分のミスや数式の入力ミスのリスクが高くなるので、ここでは繰り返し計算により求めることする。
　その時に、計算回数を最小限にするため、数当てゲームの常套手段を用いる。

		数当てゲーム 　友達と０から100までの１０１の数字の中から１つを選んで、それぞれノートに書いてその数字を当てるゲームをしてみよう。 　友達が数字を言ったら、ノートに書いた数字より「大きい」、「小さい」または「当たり」とだけ指示して早く数字を当てた方が勝ちとするゲームだ。 数当てゲームの常套手段 　このゲームには、コンスタントに勝つための常套手段がある。 　それは、範囲を２分の１ずつ絞っていく方法だ。 　例えば、「７３」を当てようとするとき、次のような過程で「当たり」を得る。 君 相手 適用 １回目 50 ↑ １００÷２ ２回目 75 ↓ （５０＋１００）÷２ ３回目 63 ↑ （５０＋７５）÷２ ４回目 69 ↑ （６３＋７５）÷２ ５回目 72 ↑ （６９＋７５）÷２ ６回目 74 ↓ （７２＋７５）÷２ ７回目 73 ◎ （７２＋７４）÷２ 理論 　２分の１ずつ範囲を狭めていくので、当てようとする数字の範囲（ｍ）と当たるまでの回数（ｉ）には次の関係が成り立つ。 　　 　上の例では、数字の範囲が０〜１００までの１０１個なので、 　　　となり、７回以内で必ず正解を得ることが分かる。 　この方法だと、０〜１０００までの範囲としても、１０回以内で数を言い当てることができる。

応用
　等流水深の問題を「数当てゲーム方式」で解くためには、まず、次の二つのことを求めておく必要がある。

（決め事その１）　数当ての対象とする水深の範囲を求める。
　　これは、底部と側面の粗度係数を使って次のように求める。

　　　　　　　底部の粗度奇数（ｎ１）＞側面の粗度係数（ｎ２）の場合には、
　　　　　　　同じ流量を対象に水深を求めた場合に、
　　　　　　　側面の粗度係数を使って求めた等流水深＝Ｈ２
　　　　　　　底部の粗度係数を使って求めた等流水深＝Ｈ１
　　　　　　　底部と側面の合成粗度係数を使って求める水深＝Ｈ
　　　　　　　の間には次の関係が成り立つ。

　　　　　　　　
　　　　　　　そこで、Ｈ１　と　Ｈ２　を求めて範囲とする。

（決め事その２）　どこまで近づいたら正解とするか。
　数当てゲームの場合は、対象が自然数であるので、「当たり」に迷うことはないが、等流水深の場合は有理数であるので、正解とする範囲を決めておく必要がある。

　　　　　　設計上は、次のように考えて差し支えない。

　　　　　　水深を１ｃｍ単位で求める場合、設計流量を　Ｑ　とし、
　　　　　　　となる水深（ｈ）を正解とする。

計算

　まず、データーを次の等流水深の計算表に整理し、次に底部と側面の粗度係数別の水深を求め、その結果を計算範囲とする。

　次に、試算法により合成粗度係数の等流計算を求める。

例題　水路の底幅　２．０ｍ　　法面の勾配　1：０．５　　水路の勾配　１／５００
　　　　底部の粗度係数　ｎ１＝0.030　　側面の粗度係数　ｎ２＝0.015　
　　　　の水路に、流量　１．０ｍ³　を流す時の等流水深を求める。

試算例　　上の計算表から、粗度係数ｎ１（底部）の等流水深と粗度係数ｎ２（側面）の等流水深から
　　　　求める水深は、水深（ｎ１）＝0.56ｍと水深（ｎ２）＝0.36ｍの間にある。

数当て方式で、「課題１」の流量計算から、水深と流量の関係を表にまとめてみる。

試算の結果、４回目で等流水深　Ｈ＝０．５０ｍ　を得る。　

与えられた条件での計算結果