円形断面の等流計算

開水路の等流計算には、次のマニングの公式がよく用いられる。

Ｍａｎｎｉｎｇの公式

　 　(式−１)　　　　　　　　　　

　　　　　　（式−２）　

　　　　　　　（式−３）　
　

　　　　　　　　（式−４）　

　　　（式−５）　　　又は、　　　（式−６）

ここで、各記号は次のことを示している。

　　　　　Ｑ：流量
　　　　　Ｖ：平均流速
　　　　　ｎ：粗度係数（水路壁面の粗さを示す値で、水路の材質や状態により異なる。）
           R：径深（水理学的平均水深とも言う。　流積を潤辺で割ったもの）
　　　　　Ｓ：潤辺（水路断面において、水が周囲の壁と接する長さ。）下の図の---の長さ。
　　　　　Ａ：水路における流水の断面積　
　　　　　θ：水面と中心とのなす角（ｒａｄｉａｎ単位）　度(degree)の場合はｒａｄian単位に変換する必要がある。
　　　　　Ｉ：動水勾配　ｈ_ｆ/Ｌ　（ｈ_ｆ：エネルギー損失　　　Ｌ：水路延長）
　　　　　　但し、等流では、動水勾配＝水面勾配＝水路床勾配であるので、計算には水路床勾配を用いることが多い。　　

公式チェック　　円の面積と潤辺の式を確認する。　 　１　円の面積 　　　右の図の扇形部分の面積に、その上の三角形の面積を加えればよいので 　　　まず、扇形の面積を求めると　　　（式−２−１） 　　　次に、三角形の面積を求めると 　　　また、なので　（式−２−２） 　　　　（式−２−１）と（式−２−２）を加えて整理すると（式−２）になる。 　２　潤辺 　　　中心角の扇形の円弧を求めるとで、これを整理すると（式−３）になる。

計算例

課題 1　円形断面水路の流速と流量を求める。

計算の手順

　手順１　　計算に必要な、水路の断面形状のデーターと勾配のデーターを整理する。
　　　　　　　水路の直径、中心角又は水深、水路底面の勾配（縦断図から、高さ（H）：長さ（L）の比を求める。）　を求める。
　手順２　　水路の材質や表面の凹凸などから、設計基準などの表を参考に粗度係数を求める。　
　手順３　　データーがそろったところで、まず、流水の面積（流積）を求める。→（式−２）
               
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

データーチェック　直径と水深のみ与えられている場合は、中心角を求めなければならない。　 　　　　　　　　　　　なお、中心角はｒａｄian単位である。

　手順４　　潤辺を求める。　→（式−４）
　手順５　　水路の勾配を求る。予め手順１で勾配が直接与えられているときは、その値を用いる。
　　　　　　　水路勾配　Ｉ＝H/L　または、設計で与えられた勾配を求める。
　　　　　　　（注意　設計で勾配が例えば１：２００のように与えられた場合は、
　　　　　　　H：L＝１：２００の意味なので、勾配Ｉ＝１／２００＝0.005と計算する。）
　手順６　　面積（流積）と潤辺から径深（Ｒ）を求める。→（式−３）
　手順７　　手順１〜５までで求めた値を使って、式−５または式−６から、まず流速（Ｖ）を求める。
　手順８　　求めた流速に流積をかけて、式−１から流量（Ｑ）を求める。
　　　　　　　　　　　　　　　

計算

データｙ入力後、計算をクリック

計算結果

課題　２　必要な流量を流すために設定しなければならない水路の勾配を求めてみよう。

計算の手順

　手順１　　計算に必要な、水路の断面形状のデーターと勾配のデーターを整理しよう。
　　　　　　　水路の直径、中心角（水深が与えられている場合は課題１の方法で中心角を求める。）、設計で流す流量を求める。
　手順２　　水路の材質や表面の凹凸、水路内の草など植生の状況などから、設計基準などの表を参考に粗度係数を求める。　
　手順３　　データーがそろったところで、まず、流水の面積（流積）を求めよう。→（式−２）
　手順４　　潤辺を求めよう。潤辺は、上の断面図の赤線部分となる。　→（式−４）
　手順５　　面積（流積）と潤辺から径深（Ｒ）を求める。→（式−３）
　手順６　　勾配を求めるため、式−１及び式−５を勾配（Ｉ）　について整理してみよう。

　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　したがって、一番左の式と一番右の式を整理して
　　　　　　　　　から　　が求められる。

　　　　　　　　

　手順７　　求めた水路勾配（Ｉ）の値を使って、式−５または式−６から、流速（Ｖ）も求めてみよう。
　

計算

データｙ入力後、計算をクリック

計算結果

注意　水路の勾配は普通　［１；ｍ］または［ｍ分の１］の形で表されるので、ｍ＝１/Ｉ　から　ｍを求めよう。

課題 ３　円形断面水路の等流水深を求めてる。

この問題を解くため、方程式の数値解法の知識を使う。

Ｍａｎｎｉｎｇの公式を用いると円形断面水路の水深を求める流量公式は、次のような高次方程式になる。

　を変形して　　　（式−3−1）

　　　　　

　　　　　但し、課題１から　

これを（式−３−１）に代入しと表現すると

　　　これに　　を両辺にかけて整理すると、

　　　　　　　（式−３−２）


となる。　

この方程式を解くため、ここでは数値解法として代表的な「ニュートン・ラフソン法」を用いて答えを導く。

　　　　ニュートン・ラフソンの公式は、　となります。　（式-３−３）

　ここで、　　 （式−３−４） となります。

　　ニュートン・ラフソンの公式に（式-３−２）・（式−３−４）を適用して、初期値（χ₀）を適当に仮定して、χ_１を求める。
　このχ_１をχ₀として次のχ_１を求め、χ₀とχ_１の差が無視できるほど小さくなるまで計算を繰り返す。

　例題　流量　1.8ｍ^３/ｓ　　水路の直径　1.6ｍ　　水路の勾配　１／１０００　　粗度係数　０．０１３

　試算結果は、次のとおり８回で、θ＝０．３５８８　に収束した。

　これを　　に代入し　Ｈ＝０．９６６　を得る。

計算回数	χ0			χ１
１	３．１４１６	−０．８７３３	１．５６９７	３．６９７９
２	３．６９７９	０．３１３３	１．８９９６	３．５３３０
３	３．５３３０	−０．０５７５	１．８６７０	３．５６３８
４	３．５６３８	０．０１１１	１．８７７５	３．５５７９
５	３．５５７９	−０．００２１	１．８７５６	３．５５９０
６	３．５５９０	０．０００４	１．８７６０	３．５５８８
７	３．５５８８	−０．０００１	１．８７５９	３．５５８８
８	３．５５８８	０．００００	１．８７６０	３．５５８８

さあ、計算を始めよう。

データーを次の表に整理して計算し、答えが正しいか確かめの計算をしてみよう。