x - 2y - 2z + 2w =   5  ..... (1) 
 2x - 2y - 3z + 3w =  10  ..... (2) 
 -x + 6y + 3z - 2w =   2  ..... (3) 
  x + 4y      -  w = -10  ..... (4) 

以下各ステップで式番号を、上から順に(1),(2),(3),(4)と繰り返し使う。 

[ステップ１] 
　(1)式のｘの係数を１にして、残りの式のｘの係数を０に式変形する。 

 (2)式の変形：(2)式 − (1)式×（＋２） 
 (3)式の変形：(3)式 − (1)式×（−１） 
 (4)式の変形：(4)式 − (1)式×（＋１） 

  x - 2y - 2z + 2w =   5  ..... (1) 
      2y +  z -  w =   0  ..... (2) 
      4y +  z      =   7  ..... (3) 
      6y + 2z - 3w = -15  ..... (4) 

[ステップ２] 
　(2)式のｙの係数を１にして、 

 (2)式の変形：(2)式 ÷（＋２） 

  x - 2y -  2 z +  2 w =   5  ..... (1) 
       y + 1/2z - 1/2w =   0  ..... (2) 
      4y +    z        =   7  ..... (3) 
      6y +  2 z -  3 w = -15  ..... (4) 

残りの式のｙの係数を０に式変形する。 

  (1)式の変形：(1)式 − (2)式×（−２） 
  (3)式の変形：(3)式 − (2)式×（＋４） 
  (4)式の変形：(4)式 − (2)式×（＋６） 

  x      - z +    w =   5  ..... (1) 
    y + 1/2z - 1/2w =   0  ..... (2) 
         - z +  2 w =   7  ..... (3) 
         - z        = -15  ..... (4) 

[ステップ３] 
　(3)式のｚの係数を１にして、 

 (3)式の変形：(3)式 ÷（−１） 

  x      - z +    w =   5  ..... (1) 
    y + 1/2z - 1/2w =   0  ..... (2) 
           z -  2 w =  -7  ..... (3) 
         - z        = -15  ..... (4) 

残りの式のｚの係数を０に式変形する。 

  (1)式の変形：(1)式 − (3)式×（＋１） 
  (2)式の変形：(2)式 − (3)式×（＋1/2） 
  (4)式の変形：(4)式 − (3)式×（−１） 

  x         - w =  -2  ..... (1) 
     y   + 1/2w = 7/2  ..... (2) 
       z -  2 w =  -7  ..... (3) 
         -  2 w = -22  ..... (4) 

[ステップ４] 
　(4)式のｗの係数を１にして、 

 (4)式の変形：(4)式 ÷（−２） 

  x         - w =  -2  ..... (1) 
     y   + 1/2w = 7/2  ..... (2) 
       z -  2 w =  -7  ..... (3) 
              w =  11  ..... (4) 

残りの式のｗの係数を０に式変形する。 

  (1)式の変形：(1)式 − (4)式×（−１） 
  (2)式の変形：(2)式 − (4)式×（＋1/2） 
  (3)式の変形：(3)式 − (4)式×（−２） 

  x        =  9  ..... (1) 
     y     = -2  ..... (2) 
       z   = 15  ..... (3) 
         w = 11  ..... (4) 

以上。 

　これは係数と定数項とを合わせて４行５列の行列で表して、行についての変形 
を行い係数行列部分を単位行列にするのと同じである。つまり次の行列について 

 |   1  -2  -2   2    5  |  ..... (1) 
 |   2  -2  -3   3   10  |  ..... (2) 
 |  -1   6   3  -2    2  |  ..... (3) 
 |   1   4   0  -1  -10  |  ..... (4) 

上の４つのステップの操作を、まとめると、 

 |   1   0   0   0    9  |  ..... (1) 
 |   0   1   0   0   -2  |  ..... (2) 
 |   0   0   1   0   15  |  ..... (3) 
 |   0   0   0   1   11  |  ..... (4) 

となる。この操作を係数行列の対角成分を軸（ピボット pivot）にして掃き出す 
（sweep out）という。 
  

　このアルゴリズムは、次のようなコードで書かれる。４×５の行列ａに対して 
（ただし第５列は定数項）、 

    for(int k = 0; k < getRow(); k++){ // ステップ１〜ステップ４ 
        double p=a[k][k];// ピボット係数 
        int i; 
        for (i = k; i <  a.getCol(); i++) 
            a[k][i] /= p;  // ピボット係数を１にするためピボット行を割り算 

        for (i = 0; i < a.getRow(); i++){// ピボット列の掃き出し 
          if(i != k){ 
              double d = a[i][k]; 
              for(int j = k; j < a.getCol(); j++) 
                    a[i][j] -= d * a[k][j]; 
            } 
        } 
    } 
  
  

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Copyright(c) 1999 Yamada,K