＃15　０をとり除いちゃう数

放送で紹介された内容

91で割ると０が取り除かれる。 1001÷91＝11。途中の０が無くなった 2002÷91＝22 3003÷91＝33 … 今度は、５桁の数。 60606÷91＝666。途中の０が無くなった 70707÷91＝777 80808÷91＝888 …

数学的なバックグラウンド

これはおそらく、この番組以前には、どこでも紹介されていなかったと思います。

このような性質の数は、

10..010...1..1 (1と0の繰り返し)÷11...11（1の繰り返し）

をいろいろ試して、割り切れるものを探す、ということになります。
実際に探して見た結果は以下のとおり。
（表記を変形し、

11...11（1の繰り返し）×ｎ＝10..010...1..1 (1と0の繰り返し)

としています。）

3桁：111×91＝10101
5桁：11111×9091＝101010101
7桁：1111111×909091＝1010101010101
9桁：111111111×90909091＝10101010101010101
11桁：11111111111×9090909091＝101010101010101010101
（桁数が３以上の奇数の時に成り立つ）

2桁：11×91＝1001
4桁：1111×900991＝1001001001
5桁：11111×90090991＝1001001001001
7桁：1111111×900900990991=1001001001001001001
8桁：11111111×90090090990991＝1001001001001001001001
10桁：1111111111×900900900990990991＝1001001001001001001001001001
11桁：11111111111×90090090090990990991＝1001001001001001001001001001001
（桁数が３の倍数でない時に成り立つ）

3桁：111×900991＝100010001
5桁：11111×900099009991＝10001000100010001
7桁：1111111×900090099009909991＝1000100010001000100010001
9桁：111111111×900090009900990099909991＝100010001000100010001000100010001
（桁数が３以上の奇数の時に成り立つ）

2桁：11×9091＝100001
3桁：111×90090991＝10000100001
4桁：1111×900099009991＝1000010000100001
6桁：111111×90000990009990099991＝10000100001000010000100001
7桁：1111111×900009090090909909099991＝1000010000100001000010000100001
8桁：11111111×9000090090900909909099099991＝100001000010000100001000010000100001
9桁：111111111×90000900099000990099900999099991＝10000100001000010000100001000010000100001
11桁：11111111111×9000090000990009900099900999009999099991＝100001000010000100001000010000100001000010000100001
（桁数が５の倍数でない時に成り立つ）

このような関係が成り立つ、

• 1 の連続の桁数（表側）
• 1 と 1 の間に入る 0 の個数（表頭）

を表で表すと、以下のとおり（−：成立せず　○：成立）。

	1個	2個	3個	4個	5個	6個	7個	8個	9個	10個
2桁	−	○	−	○	−	○	−	○	−	○
3桁	○	−	○	○	−	○	○	−	○	○
4桁	−	○	−	○	−	○	−	○	−	○
5桁	○	○	○	−	○	○	○	○	−	○
6桁	−	−	−	○	−	○	−	−	−	○
7桁	○	○	○	○	○	−	○	○	○	○
8桁	−	○	−	○	−	○	−	○	−	○
9桁	○	−	○	○	−	○	○	−	○	○
10桁	−	○	−	−	−	○	−	○	−	○