1089は特別な数。
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まず、何故このようになるかを考えてみます。
3ケタの数は 100a+10b+c と表すことができます。各桁の数を逆順にすると、100c+10b+a
引き算をすると、
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100(a-c)+(c-a)
ここで a-c の取りうる値は 1〜9 の9通りなので(0だと、逆順にして足しても0にしかならないので不適)
(c-a)= -(a-c)
a-c に 1〜9 の値を代入して計算してみると、
1の場合:100*1+(-1)=99 2の場合:100*2+(-2)=198 3の場合:100*3+(-3)=297 4の場合:100*4+(-4)=396 5の場合:100*5+(-5)=495 6の場合:100*6+(-6)=594 7の場合:100*7+(-7)=693 8の場合:100*8+(-8)=792 9の場合:100*9+(-9)=891
全て、10の位が9、1の位と100の位の和が9となっています(1の場合は、100の位が0なので、逆順を990とみなす)。
従って、逆順の数と足すと全て同じ結果となり、例として2の場合で計算してみると、
198+891=1089
となり、答えは1089となります。
実は、他の桁数の場合も、同じ手順の計算をすると、答は必ず一定の値となります。
(証明は、同じ要領でOK。ただし、場合分けが増える)
以下、10桁まで、結果のみを書くと、
2桁:99 3桁:1089 (2桁 * 10 + 99) = 10^0 * 11 * 99 4桁:10890 (3桁 * 10) 5桁:109890 (4桁 * 10 + 990) = 10^1 * 111 * 99 6桁:1098900 (5桁 * 10) 7桁:10998900 (6桁 * 10 + 9900) = 10^2 * 1111 * 99 8桁:109989000 (7桁 * 10) 9桁:1099989000 (8桁 * 10 + 99000) = 10^3 * 11111 * 99 10桁:10999890000 (9桁 * 10) ...
となります。
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