10.類多項式(Hilbert, Weber)

Hilbert class polynomial

-3 〜 -2000 についての計算結果は以下のとおり。

データは以下のようになっている。

Hilbert類多項式(例.D= -15 の場合)
d=-15 : H= 2

 1 , 1 , 4 : 1/2 + sqrt(-15)/2
 2 , 1 , 2 : 1/4 + sqrt(-15)/4

 2 : 1
 1 : 191025
 0 :-121287375
H は類数。
左から順に、判別式が D となるような二次形式の a, b, c の値。
「:」の右の値は、その二次形式を二次方程式と思って解いた時の解で
虚部が正となるものを基本領域に移した時の値。

Hilbert類多項式のn次の項の係数。

Weber class polynomial

-1 〜 -5000 についての計算結果は以下のとおり。

データは以下のようになっている。

Weber類多項式(例.D= -15 の場合)
D= 15
 1 , 0 , 15
 3 , 0 , 5
h= 2
 2 : 1
 1 :-1
 0 :-1
左から順に、判別式(b2−ac)が −D となるような二次形式の a, b, c の値。
h は類数。
Weber類多項式のn次の項の係数。


Hilbert class polynomial と Weber class polynomial では、考察対象が微妙に違う。
上で使用した記号に即して、差異を下表にまとめた。

 HilbertWeber
D虚二次体の判別式
(sqrt(m)) で

m≡1 (mod 4) のとき、D=m
m≡2, 3 (mod 4) のとき、D=4m

虚二次体の付加する値
(左記のmの値に相当)
判別式 ax2+bx+c に対し、

b2−4ac

ax2+2bx+c に対し、

b2−ac

類数 h 虚二次体の類数 虚二次体の類数(h=H)
ただし、

D≡3 (mod 8) かつ
D≠3 (mod 6)

のときは h=3H となる


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三島 久典