さて、同じ要領で、ふだんあまりお目にかかることのない、tan z の Taylor展開の係数を求めてみよう。
tan z = t0+t1z1+t2z2/2!+……
とおく。
sin z = z−z3/3!+z5/5!−+……+(−1)nz2n+1/(2n+1)!
cos z = 1−z2/2!+z4/4!−+……+(−1)nz2n/2n!
tnを順に求めていくと、
n=0:0=1・t0 ∴ t0=0
n=1:1=1・t1 ∴ t1=1
n=2:0=1・t2/2!−1/2!・t0 ∴ t2=0
以下、偶数番目は必ず0となる。
……
上の手続きは以下のようなアルゴリズムとなっている。
(-1)i・1/(2i+1)!=t2i+1
−t2i-1/(2i-1)!・1/2!+t2i-3/(2i-3)!・1/4!+−……
+ t2i-(2j-1)/(2i-(2j-1))!・(-1)j/(2j)!
+−……
+ t1・(-1)i/(2i)!)
プログラムは以下のとおり。
10 ' tan z 20 M=10:dim T(2*M+1):T(1)=1 30 for N=1 to M:S=0 40 for I=0 to N-1:A=2*I+1:B=2*(N-I) 50 S=S+(T(A)//!(A))*((-1)^(N-I)//!(B)) 60 next I 70 T(2*N+1)=!(2*N+1)*((-1)^N//!(2*N+1)-S) 80 print N,2*N+1,T(2*N+1) 90 next N
足す順序を少し変えて、後ろから足している。
ここでは、M=10として、t21までを求めてみる。
実行結果は以下のとおり。
n | 2n+1 | tn |
---|---|---|
0 | 1 | 1 |
1 | 3 | 2 |
2 | 5 | 16 |
3 | 7 | 272 |
4 | 9 | 7936 |
5 | 11 | 3 53792 |
6 | 13 | 223 68256 |
7 | 15 | 19037 57312 |
8 | 17 | 20 98653 42976 |
9 | 19 | 2908 88851 12832 |
10 | 21 | 4 95149 80531 24096 |
tan z の Taylor展開の係数と、先ほどの Bernoulli数には、以下のような関係がある。
B2n = | (-1)n-12n ---------- 22n(22n-1) |
T2n-1 |
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