３．Bremner の手法

ここから先、

• (x,y,z) の探査範囲を 1000 から 10000 にする
• x は小さい値 (20ぐらいまで) で固定し、y, z を大きくする

という手は考えられるが、このような小手先のやり方で、n=564 に対する解、

x =   122 44200 50100 02877 81163 51171 17995 21361 35134 91867 (48桁)
y = -3460 69586 84255 04865 64589 22621 88752 08971 30654 24460 (49桁)
z = 74807 19101 53025 27837 94583 60171 46464 94820 59055 28060 (50桁)

は求められない。
よって、冒頭に示した Bremner の論文を調べてみる。

Bremner の手法は以下のとおり。

与えられた不定方程式 n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z) は、双有理写像、

X = -4(yz+zx+xy)/z²
Y = 2(X-4n)y/z-(n-1)X

により、楕円曲線 E、

E : Y² = X(X²+(n²-6n-3)X+16n)

に双有理同値となる。楕円曲線から元の不定方程式への写像は、

x,y/z = {±Y-(n-1)X}/2(4n-X)

で与えられる。よって、楕円曲線 E の有理点を求め、双有理写像で変換して、
n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z) の解とすればよい。
論文には、この有理点を求める方法が細かく書かれているが、
Cremona の mwrank を使うと、手っ取り早く求めることができる。

計算結果は下記のとおり。

-500 ≤ n ≤ -1 に対する解
1 ≤ n ≤ 500 に対する解

n = -100 : (x,y,z) = (4450012553, 219887106322, -663397965750)
n = 94 : (x,y,z) = (571064, -1799160, 79045681)

等を求めることができた。 これらは、最初のプログラムでは、まず発見することができない。

以下のような恒等式が知られている。

n	x	y	z
-(k2-5) (k≥3)	k+1	k-1	-k(k2-1)/2
-(k2+3) (k≥3)	(k3+3k2+4k+4)/2	(k3-3k2+4k-4)/2	-k(k4+3k2+4)/4
-(k-1)(k+2) (k≥3)	1	k	-k(k+1)
v4k+8	u2k-1	u2k+1	u2k-1v2ku2k+1
u2k2	-u2k-1	u2k+1	u2k-1u2ku2k+1

ここで、u_k、v_kはそれぞれ Fibonacci数、Lucas数 で、定義は以下のとおり。

Fibonacci数 u_k : u₁=1, u₂=1, u_k+1=u_k+u_k-1
Lucas数      v_k : v₁=1, v₂=3, v_k+1=v_k+v_k-1

2変数の場合、n=(x+y)(1/x+1/y) の n の値は、

n=0, 4

に限る。これは初等的に示すことができる。

また、4変数の場合、n=(x+y+z+w)(1/x+1/y+1/z+1/w) の場合は、以下のような一般解が存在する。

x = m²+m+1
y = m(m+1)(n-1)
z = (m+1)(n-1)
w = -m(n-1)