３．３種類の数字としてありうるパターン

３種類の数字としてどのようなパターンを取りうるかを調べてみる。
下位の桁から調べてみる（ただし、最下位が０の場合を除く）。

１の位に出現する数字

１、４、５、６、９

10の位に出現する数字

１の位の数字	10の位の数字
１、４、９	偶数（０、２、４、６、８）
５	２
６	奇数（１、３、５、７、９）

100の位に出現する数字

１の位の数字	10の位の数字	100の位の数字
１、９	０、４、８	偶数
１、９	２、６	奇数
４、６	――	任意
５	――	０、２、６

1000の位に出現する数字 …… 任意

ここまでの結果を使って

＜定理＞ 10進法で表した場合、１種類の数字からなる２乗数は存在しない。

ということを証明することができる。

＜証明＞ １種類の数字からなる２乗数としてあり得るパターンは、

11……1
44……4
55……5
66……6
99……9

このうち、

１、９の場合は、10の位が偶数でなければならないので不可。
５の場合は、10の位が２でなければならないので不可。
６の場合は、10の位が奇数でなければならないので不可。

４の場合は可能性がありそうだが、

44……4＝４×11……1

であり、11……1 は２乗に成り得ない。
以上より、１種類の数字からなる２乗数は存在しない。（証明終わり）

上記の中には、２種類の数の組み合わせも含まれている。
そこで、1001〜1999 のループではなく、100001〜199999 ぐらいに余裕を見て、
その範囲内の数の２乗の下位５桁が、012〜789のどのようなパターンを取りうるか調べてみる。
結果は以下のとおり。

1. ２乗に成りうるパターン 〜 以下の92通り

   012, 013, 014, 015, 016, 017, 018, 019, 024, 025,
   029, 034, 036, 039, 045, 046, 047, 048, 049, 056,
   059, 067, 069, 079, 089, 123, 124, 125, 126, 127,
   128, 129, 134, 136, 138, 145, 146, 147, 148, 149,
   156, 158, 167, 168, 169, 178, 189, 234, 235, 236,
   239, 245, 246, 247, 248, 249, 256, 257, 258, 259,
   267, 269, 279, 289, 345, 346, 347, 348, 349, 356,
   367, 368, 369, 389, 456, 457, 458, 459, 467, 468,
   469, 478, 479, 489, 567, 568, 569, 589, 678, 679,
   689, 789

   特に以下の10パターンについては、10⁹ 以下には解を持たない

   013, 019, 036, 056, 059, 079, 236, 247, 678, 789

2. ２乗に成りえないパターン 〜 以下の28通り

   023, 026, 027, 028, 035, 037, 038, 057, 058, 068,
   078, 135, 137, 139, 157, 159, 179, 237, 238, 268,
   278, 357, 358, 359, 378, 379, 578, 579

さて、

013, 019, 036, 056, 059, 079, 236, 247, 678, 789

は解を持つのか？