１．題記不定方程式の一般的な解法

題記の不定方程式の解き方を考えてみる。
分子は一般にｍとする。分母は素数の場合のみを考えればよい。ｐとおく。
よって、より一般化した式、

m/p＝1/a＋1/b＋1/c（ただし、m/p≦３）

について考えてみる。

まず、１≦ａ≦ｂ≦ｃ としても一般性を失わない。

ａの範囲を限定する。

     0＜1/c≦1/b≦1/a≦1
∴ m/p＝1/a＋1/b＋1/c≦3/a
∴ a/3≦p/m
∴   a≦3p/m

一方、m/p＞1/a だから、

ａ＞p/m

以上、まとめると、

p/m＜ａ≦3p/m

尚、この条件を、プログラム内の for 〜 next 文の境界条件として使用する場合、
整数化しておいた方が扱いやすい。ａは整数なので、境界条件も整数化すると、

int(p/m)＋１≦ａ≦int(3p/m)

となる。

今度は、ｂの範囲を限定する。
上記で求めたａに対し、

m/p−1/a＝(ma-p)/pa
        ＝d/e

とおく。上記と同じ議論により、

e/d＜ｂ≦2e/d

となる。ａ≦ｂも考慮に入れると、整数化した条件は、

max{ａ，int(e/d)＋１}≦ｂ≦int(2e/d)

となる。

上記ｂに対し、

d/e−1/b＝(db−e)/eb
        ＝1/c

∴ db−e | eb のとき、 （注：ａ｜ｂは、「ａはｂを割り切る」という意味。例えば、２｜６）

c＝eb/(db−e)

以上より、与えられたｍ、ｐから、

m/p＝1/a＋1/b＋1/c（ただし、m/p≦３）

を満たすａ、ｂ、ｃを求めるプログラムは次のようになる。