正弦波と螺旋と調和発振
1:SINとCOSの関係:
正弦波は回転運動ですが回転運動をグラフで示すにはparameterが2っ必要になります。互いに直交する軸を定義すると平面の1点を2っのparameterで表せます。半径1で回転する円運動はX^2 +Y^2=1^2 =1となりますが角度をθとするとSIN(θ)^2 + COS(θ)^2 =1となります。 すなわち半径1で固定された円の回転においてはSINとCOSの値が相補的に変化することによって等速円運動が可能ということです。(X,Yという表記よりXh,Xvの方がいいかも）
たとえばθ=0から90度の範囲でSINは0から上昇し90度で1に逆にCOSは1から下降して90度で0です。SINの変化率がCOSの値に反映します。
*:三平方の定理からSINとCOSの関係が定義されますがここでは合成ベクトルとしての半径Rが常に1という条件からSIN（θ）とCOS（θ）の値は相補的に動きます。すなわち縦、横の関連において相補的に動くので半径Rは円運動になるとも言えます。 SIN(0度)の時、変化率が最大なのでCOS(0度）の値はMAXの1、SIN(90度)で変化が最低（変化しない）なのでCOS(90度)の値は0というSINを微分した値がCOSの値です。
2;オイラーの等式 e^iθ = cos(θ) + isin(θ)
上記の円運動といういわば単純な動きが単純？だからというか安定な運動だからゆえ万物の動きの基本となっているという事実。
sinとcosは直交しており別次元のparameterなので上記のようにX,Y平面で表さず虚数軸を 用いた2次元のparameterで表現した方が正解です。実数のXに対応するparameterが2っあるので結果としてのY軸を考えるとこのグラフは3次元空間に配備されます。上記式の右辺は円運動に時間要素Yを加えたことに相当するため螺旋をしめします、
また右辺は結果というか螺旋動作を2っのparameterに分解した時の平面での動作を示していますが原因を示しているわけではありません。すなわち左辺のe^iθが回転動作を発生させるエンジンであってこれはスプリングにおもりをつけて水平に振動させる（円運動）ための起動要因とこのe^iθは同じであって結果としての正弦波振動はばねののびちじみを成立させる相補的なparameter（押すちからと戻す力）をsinとcosで示すという具合の対応の式。
ここでsinにiが付いているのは虚数軸のparameterとうだけで1:のsinとこの関係と 構成は同じだが3次元表示のため定義されていると納得できますが実数の関数としてのe^XのX部分がiθという角度と虚数のparameterの置き換わったe^iθという概念を理解するにはパラダイムチエンジが必要です。
e^Xは指数増加ですがe^iθは指数増加を回転エネルギーに変えることだそうです。すなわち2次元平面で円運動という3次元では螺旋をこのe^iθで作りだしているのだそうです。それを分解した要素が右辺なのです。
複素数の指数関数:
変化が常に横（90度）を向いているすなわち進行方向に対して直角にかかる力でみずから回転運動をえる。半径Rに直角の働く力が回転のエネルギー。円の接線に働く力で回転運動が成立している状態。微分という（変化の方向）が常に自分（現在地）と直交するという特異な性質がe^iθを円運動にたらしめています。
e^iθを複素数平面で？微分するとie^iθとなりiが現れる。これは3次元において 90度の回転を意味するという。さらに微分すると-1になり180度回転、さらに微分で iで270度、さらに微分すると1になり360度で元に戻る。これは2次元の複素平面を回転する円運動の各軸線上の値ということを意味しています。なぜ微分と回転が等価なるのか、そもそもsinの微分はcosで複素平面では直角という90度の変化は微分という関係が成立しています。
1回微分: 90度i
2回微分:180度i^2=-1
3回微分:270度i^3=-1*i=-i
4回微分:360度(0度)i^4 =-i^2*i^2=-1*-1=1
というように縦、横軸との対応がとれます。正弦波を4回微分すると元の正弦波に戻る。
この関数の最大の特徴は、微分するとi倍になる（方向が90度変わる）という性質です。
微分するとiが出てさらに微分すると-1になる。これは虚数の掛け算と全く同じ対応です。
進めば進むほど、常に自分の進む向きを90度左に更新し続けるため、結果として円を 描きます。COS(θ) + iSIN(θ)が 微分した結果の軌跡という意味はSINがθの増加(時間変化)に対するSINの変化率がCOSという変化になっている。
sin(θ)の変化率はcos(θ)
cos(θ)の変化率は-sins(θ)
X軸（cos）が増えようとするとi軸がブレーキをかけたり引っ張ったりする。
e^iθは実数のe^Xからするとiθの代入というのは違和感がありますがここでiが無いθを代入するということは意味のないことになります。
実数 e^X（加速）
変化のエネルギーがすべて外側への増大に使われます。ブレーキ（i)がないためどこまでも増えるという発散イメージ。
複素数 e^iθ（回転）
iを代入することは増大に使われていたエネルギーが進行方向に対して直角（横）にすべて振り向けられる。e^Xは微分しても変化しない関数ですが上記のようにe^iθは1回微分すると90度回転しこれは微分するとiが定数項として出てきてさらに微分するとi^2=-1となり複素平面との対応もピッタリですがこれはなにを意味するか?。
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S平面で過渡現象、filterの特性を求めること これは微分を掛け算で表すことができるということだそうです。これは対数を使うと掛け算が足し算で処理できるというパラダイムと同様のことなのでS平面を使うといちいち微分を使わず正弦波ベースの関数の処理が簡単に処理できる。すなわちfilterの特性などを求める場合、ラプラス変換を使って伝達関数の方程式を作ってそれをたとえば2次のFilterでは2次の関数として方程式を作れば後は共役複素数の形にしてFilterの特性(減衰、発振、発散)をPoleの移動としてS平面上に表すことができます。e^iθ = cos(θ) + isin(θ)という前提があるので正弦波を使わずe^iθで処理できるということなのでしょう。
*: 伝達関数では微分はS、積分は1/Sと表す。 結局の所CR filterというのはcapacitorの積分、微分要素によって印加正弦波の位相がどれほど進む、遅れるということとその際の振幅の増減がテーマになるわけであり、正帰還のループが存在するfilterにおいては入力に対して出力の位相が360ずれれば発振状態になるということです。2次のCRfilterにおいては2っのcapacitor間の充電、放電による変化で回転運動が始まりその原動力が微分、積分作用です。capacitorの積分要素は1/Sで2次のCRFilterであれば1/S^2、という掛け算、位相の回転は足し算。S平面での挙動を理解する前提として調和発振をまず理解する必要があるということになります。
複素平面（S平面)
ちなみにラプラス変換の定義式は、 で、ラプラス変換というのは本来微分方程式を解くための一手段で、ある微分方程式からラプラス変換の手法で伝達関数 F(s) を求めそれを逆ラプラス変換して、その伝達関数の過渡現象を求めるといったような使われ方をします。 微分方程式という時間領域の関数をいったんラプラス変換により周波数領域の関数に変換してその中で計算を行い再度時間領域に戻すことで微分方程式の計算を簡単に行おうというものです。
またフーリエ変換の定義式は、 となりよくにています。フーリエ変換というのは時間領域で定義される波形を周波数領域で表す (各周波数における複素正弦波(SINとCOSのベクトル和)の大きさとして)ことですが、これは上記式の通り対象となる関数に全帯域で正弦波をかけた結果を積分した結果を求めることです。 これに対して周波数特性 (伝達関数の反応のひとつ)を求めるということはある伝達関数の回路に全帯域に対して周波数SEEPした正弦波を入力した時の出力結果つまり各周波数における正弦波の大きさを求めることなので、にたようなことをやっているわけです。 フーリエでは exp(-jωt)なので虚数のみ、ラプラスの方は exp(-St)となっています。ここでSは、S =δ+jωという複素数で表現され、これを図示したのがS平面です。 S = δ+jωのδを除いた形が jωというわけです。つまり定常状態の反応を見るだけでよければjωだけでことたりるわけで、これに対して過渡的な変化を見る為には δの項が必要となるわけです。上記の複素正弦波にあたる部分がexp(jωt)...(.複素指数関数)です。 ちなみにオシロスコープを使って回路(filter)の周波数特性を求める方法、すなわちオシロをX,Y Modeにして正弦波を0から20KHzまで周波数SWeepするのと近い処理だということでしょうか。
正帰還ルートのある2次以上のFilterの特性というのは少しの正帰還では減衰振動が発生し、系の減衰と指数増加がバランスした正帰還ループのGAINが1の時が安定発振、 増加が減衰を上回ると発散という状態に変化するのでそれを表現するparameterが上記のδの数値で変化するのでδというparameterが追加されています。 正帰還がない2次のFilterは上記のように実数のみで複素数でなくなります。つまり虚数を含んだ複素数になるのは正帰還による振動要素が付加されたfilterのみです。すなわち回路のループしている区間での振動がわずかでもある場合です。 但し上記のオイラーの等式に置ける複素平面とは若干意味が異なり、平面の第2、第3象限において伝達関数から得られる根としてのPole位置を共役複素数の形で表現しています。 この場合のPoleはfilterのCutoFF周波数（というか厳密にはF0）上にあるため円周上(*1)に存在する形になっていて同心円上の円（半径）が大きくなるほど周波数が高くなるという表現になります。このようなS平面を利用はするものの表示内容の発想の違いを混同しないことをを理解するのが始めの螺旋のイメージが強いと難儀ではあります。要は両者とも虚数という実数にはない新たな次元を利用している表現方法だということです。 上図の円周上でのpoleの位置を考えるという行為はあくまで正帰還ループのあるこの場合2次filterについてであって1次のCR Filterや正帰還の無い2次CR Filterでは虚数要素がないのでpoleは実数軸上にあるということです。振動要素があるからe^jωで表す正弦波との関連が出てくるということです。Filter内での振動要素を扱う為のTOOLであるということで明かに減衰要素(時定数)のみのFilterは恩恵は殆どないという前提をしっかり明記している解説はみたことがないため混乱するのでした。 F0の周波数にpoleができるということは正帰還ループ内に存在するBPF要素が同じCutOFF周波数のHPFとLPFで構成されBPFなのでCutOFF周波数と呼ばずF0ということになります。 このBPF要素の電流を2段目のCapacitorで積分した値が2次LPF（HPF）の特性になる。
* 3次元表示のpoleの山と周波数特性の関係 *1:半径の長さが周波数を表す。(半径=0がDCという意味)
PoleはS平面に対して直交する軸(次元)をあたえると高さ∞の同心円の山として表せます。これに対してJω軸で垂直に切り取った面がfilterの周波数特性になります。この場合jωの範囲は0からの絶対値で-jωの範囲は無視しますがFilterの特性（通過帯域）にはマイナス側のPoleも影響するため通過帯域は単体の山のスロープではなく平坦な特性になります。
* 積分器と1次Filter
* 2次CR Filter 正帰還要素の無い2次のFilter(C1=C2,R1=R2)は重根になるのでpoleは同じ位置で重なっていますが、正帰還要素があるとpoleが離れていきます。この場合離れていくに従って帰還量が増えていくことになるのでS平面に垂直な虚数軸の切り口に近づきます。これは現象として正帰還量が増えると指数的に減衰振動が増えループGAINが1になると安定発振になることを示しているわけです。 このような作法を順番に理解すればさほど難しい概念ではないのですが前提を省略して数式の羅列になっている説明書が多いためこれらの概念は難解に見えるのも事実です。
* 減衰/安定発振/発散
δ> 0 :発散 増幅が勝る 正帰還ルートがあるfilterでは増幅要素より減衰要素が大きければループを繰り返すごとに振動要素は減衰していきます。バランスが取れていてループゲインが1ならば振動は持続します。
* Peak(pole)はなぜF0の周波数に起きるか
* 伝達関数の減衰要素は？
正帰還ルートに対するω0の振動の有無を調べるのがS平面の役割 さらにはFilterのおいて、印加信号のありなしにかかわらずω0のみで正弦波が発振しているのは変に思えます。これは発振状態になっている状態ではBPFのQがとても大きくなっているのだからBPFの帯域はとてもせまくなっているのでω0の周波数だけ弁別している状態といえるのでしょう。さらには発振状態なので正帰還ルートに置ける位相差は0ということです。
上記の説明からLPFとHPFで構成されたBPFの出力の位相差は0なので正帰還ループが存在すれば入力に対して出力から正帰還をさせれば入力信号は同相で増大することになりますが BPFの損失がおおければ信号は減衰して正帰還が終了します。減衰を増幅で補えれば 安定した発振になり増幅が強ければ発散になります。これらは上記のように物理現象をシミュレートするとわかるのですが、これらの現象を伝達関数を使って2っのpoleを複素数で表すと、上記の関係が即座にわかってしまうのはすごいです。
回転にかかわる各種単位は色々あるので以下にまとめます。
ラジアン .円周360°は2πラジアン(2π[rad] 1ラジアンは半径と同じ長さの孤)
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相補的なメカニズム:
e^iθにおけるX成分(cos)と虚数i成分(isin）は、一方が増えれば他方が減るという相補関係にある。これにより大きさ（半径1）を維持したまま、エネルギーを位置の変化だけに使い続けることができる。
等式にこだわるとなかなかこのパラダイムが理解できません。正弦波は4回微分すると元に戻るので等速回転（円）運動が持続する周期関数でありe^Xは1回微分しても元の関数のままという自分自身に自分の変化率を内包している関数で正弦波も4回微分すれば元にもどるという共通性がありますが4回を1回転として見れば同種の反応。虚数という次元を用いることによって本来e^iθこそが回転を発生させる元でありその結果としての2次元の写像がcosとsinの三角関数なので同じものを上記式は表しているということのようです。
cosとsinは半径が1になるように制約を受けているので相補的に動く為90度単位で方向が1回resetされるが変化のカーブ自体は本質的には90度の区間で変わりません。e^iθも上記のように1回微分するとiの項が定数として出るので複素平面の定義に合致しているわけです。そもそも虚数は2乗して-1になる数なわけでした。相補的なイメージとしては定電流源に接続された差動対、正帰還に対して100%負帰還をかけたときの反応、1次FilterのLPFとHPFの関係など。
すなわちe^iθがe^Xのように指数上昇（正帰還反応）しないのは平面写像としての正弦波が1/4周期の90度単位で方向転換し、1周期で初期値にrestされることに由来しているのでしょう。正弦波が90度ごとに方向転換をしなかったらそれは指数変化として増大するというアナロジーなのでしょうか。ということは逆に言うと螺旋運動の1周期の中にe^Xの指数特性がかくされているというか1周期分のねじれを展開すれば指数変化が現れるという感覚をおぼえます。
resetと初期値の更新:
指数関数の身近な例は音のOctaveと周波数の関係があります。Octave増えると周波数は倍、2Octave増えると周波数は4倍になりますがOctave構成する12半音に対してOctave上のAの音はAの音として認識します、異なるのは初期値が倍になったことであるので周波数は2倍です。
このたとえと螺旋の時間軸に対する回転は全く同じで現在の螺旋の1点より1周期時間が進んだ直上の点は上記の1Octave上のAの音に対応してそれは回転が1回増えたことと同じなのでこの1回転という間隔はリニアな変化ですがねじれ自体は指数変化なので周波数は2倍であって、これは指数変化なので螺旋の1回転のねじれの中に指数上昇が隠された状態のようなものであり、1周期ごとにresetされその代わり初期値が倍にあがる。このことでe^Xという基本性質がe^iθでもparameterの指定が違うだけで継承されているわけです。見方が2次元か3次元かの違い。
虚数軸を追加することによって2次元では解を得られないX^2+1=0が虚数を追加した3次元では2次元平面とと直交する虚数軸と出力としてのY軸とで構成される面に逆放物線として現れると同じような現象として理解すればいいのでしょうか。
すなわち螺旋の1回転のねじれの中での変化率が一定ということはe^Xとういう指数関数が微分しても変わらない性質は別の形(回転運動)として保持されており等速円運動は変化率が常に一定の運動であることと合致している。 また写像としての正弦波の90度間の変化も指数的でありsinとcosは半径1という制約の中で動いているので両者とも指数関数だが逆変化として動くということ。指数の増加要素はどこにいったのかと考えると1周期の螺旋運動中にねじれとしてかくされている？。上記のOctaveと周波数の関係のように1周期、2周期の変化はリニアだかねじれは指数的であるということ。すなわち回転を保持しつつ螺旋の進行はリニアな上昇である。
e^Xの特性の継承
等速円運動は変化率が一定それの表示方法を変えると正弦波という90度区間においては指数変化の展開できるが90度で方向がresetされるので指数上昇は続かず方向を変えて変化する。上記の等式でe^iθを分解した形が右辺であるならばe^Xベースでをiθという回転と虚数の組み合わせのparameterを組み込んだ挙動は本来の指数変化が形を変えて2次元のcosとsinに2っのparameterに分解されて現れる。それを時間軸を追加した3次元表示では螺旋という形で現れる。これがe^Xの指数変化が継承されている部分なのでしょう。
e^Xとln(X)のグラフ
実数の平面でe^xと対応する逆関数の(Ln)を同時に表示した場合。Y=Xのグラフすなわち45度の傾きのグラフを45度半時計周りに回転するとe^Xのグラフと自然対数(ln)の関係は変化率が同じで極性が反転しています。 これは指数という正帰還がその逆変化によって直線上昇すなわちリニアに進行する様子になります。これはいわばsinとcosの関係と同じなのでは？。またY=Xというのは直線上昇すなわちリニアな変化です。
上記の螺旋のひとひねりの進行との共通点すなわちe^Xの指数が回転による負帰還反応によって封じ込められリニアな進行をしているという類似性をみいだせます。e^Xとe^iθは大元は同じなので当然ベースの特性は同じなのだから類似性が出るのは当然です。
e^Xとe^iθは次元の拡張による見え方の違い
2次元平面では単に回転運動ですがこれは時間情報をθとすることで時間情報を2次元に封じ込めていますが、3次元表示では螺旋のひねりとして現れるとともに360度で1回転なので円運動の同じ角度θ位置は1、2、3とリニアな変化で進行します。SIN、COSは回転を分解したX、Yの要素ですが大元の回転エネルギーはe^iθなので単純に回転するだけでなくリニアな進行エネルギーも内包しているのでしょう。と考えればe^iθというパラダイムを理解、定着できそうです。
e^Xの一定区間(リニアなXの増加)に対するひもとしての長さは螺旋の1周分として螺旋のねじれとして隠されていてこれから回転要素を除けば指数変化(*1)。上記の一定から次の区間に進行することは指数関数の初期値のResetに相当するのでしょう。とすれば各一定区間の変化率は当然同じというe^Xの特性を満足している。e^iθの回転と本質的には同じことであるしY=Xは一定区間の上昇を示す関数。
*1:
正弦波の90度区間の変化も指数ですが90度で一度resetされ方向転換します。これが方向転換しないで連続的に360度まで続けばe^Xと同様な指数変化の連続性となるのでは。
上記のYとXの数値が同じ位置にあるそれぞれのカーブとの接点を結ぶとY=Xの直線と直交していることがわかります。これはsinとcosの関係と同じではないでしょうか。それとe^iθが増大に使われていたエネルギーが進行方向に対して直角（横）にすべて振り向けられるという意味と同じ意味ではないでしょうか。
<2026/05/12 rev0.5>
<2026/05/05 rev0.4>