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人間は、物を数え上げるために「順列」や、「組み合わせ」といったものを考えだしました。 これらは並べる物の種類が全て違い、並べる方向は一定である場合を考えています。 「順列」というのは、数え上げる物にすべて番号をつけて（順序を考えて）、 その並び方が何通りかを数えるもので、n! = n (n-1)(n-2) …(n-k-1)…1 で計算できます。（番号を一つずつ減らしながらかけ算していくわけです） 「組み合わせ」というのは、やはりすべてに番号をつけるて並べるが、 おのおのの順序は考えず、全ての並び方が何通りかを数えます。 つまり、a,b,cと物があるとき、(a,b,c),(a,c,b,) ... , (c,b, a)のように 並ぶ順番をあくまでも1通りと考えてしまうわけです。 これは、 nCr = n! / r! (n-r)! で計算できます。 ところで、0! はどう計算するのでしょうか？ 0! = 0だと思いませんか？ そうですよね。0に0をかけたら0に決まっています。 では、0個とはどういう状態なのでしょうか？ そうです。「何も無いという数」だけ、物があるということです。 例えば、集合を考えると、「何も含まれない集合」を「空集合」といいます。 この「空集合」は、中身が何も無い空の袋のような物です。つまり、0個入っています。 この「空集合」から0個取り出すという、なんともtrivialな順列・組み合わせを考えてみましょう。 ・・・え、0通り？！ いえいえ、1個あるでしょう。「何にも無い」というものが。 
0個並べるということは、１通りしか無い。 だから、0! =1. ・・・当然ですね。こういうのをtrivialというのです。わはは。 ですが、私が言いたかったことは、確かに、0! = 1は「決まり事」かもしれないけど、 そうやって単純に覚えるより、上のように考えた方が面白いじゃないかと言いたい訳です。 どうですか？こう考えると、算数も面白いと思えてきませんか？ |
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「もっと数学的に0!を決めたい」という方の為に、 「プログラマの数学」（結城浩、ソフトバンクパブリッシング、２００５）という本に載っていた、 次のような導き方を紹介します。 まず、n!を考えると、 n!=n(n-1)!. よく見ると、(n-1)!はn!と同じ形をしていますから、 上のnをn-1に、n-1をn-2に書き換えれば、 (n-1)!=(n-1)(n-2)! この手続きを繰り返す（nから1を引き続ける）と、 2!=2・1! 1!=1・0! 故に0! = 1. こっちの方が数学的にはすっきりしていますね。 （参考文献では、自分とおなじ式を呼び出す「再帰」という構造の例として紹介されています） |
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