前頁では、m、n自体が2乗数のときを調べたが、例えば、
m=(i2−j2)2
n=(2ij)2
とおくと、
m+n=(i2+j2)2
となり、m+nも2乗数となる。
ここでは、m、n、m+n、m−nのうち、3個が2乗数となる場合を考えてみる。
m、n、m+n、m−nのうち、a+b=cのような関係式が成り立つのは、
m−n<m<m+n
n<m
という大小関係に着目すると、以下の2通りしかない。
(m−n)+m=(m+n)
は、m=2nとなり、mとnが互いに素という条件に反する。
この2つについて、(i2−j2)2、(2ij)2を当てはめる方法は、 以下の4通り。
No. | m | n | m+n | m-n |
---|---|---|---|---|
1 | (i2+j2)2 | (i2−j2)2 | (2ij)2 | |
2 | (i2+j2)2 | (2ij)2 | (i2−j2)2 | |
3 | (i2−j2)2 | (2ij)2 | (i2+j2)2 | |
4 | (2ij)2 | (i2−j2)2 | (i2+j2)2 |
1.の場合、m+n=2(i4+j4)
この場合を(6)とする
2.の場合、m+n=i4+j4+6ij2
この場合を(7)とする
3.の場合、m−n=i4+j4−6ij2
これは、i4+j4>6ij2 の場合のみ成立する。
この場合を(8)とする
4.の場合、m−n=6ij2−(i4+j4)
これは、i4+j4<6ij2 の場合のみ成立する。
この場合を(9)とする
以上まとめると、プログラムは以下のとおりとなる。
10 ' congruum : cong_3.ub 20 L%=10000:M%=1000 30 ' 40 for I%=2 to L%:I2=I%^2:I4=I2^2 50 for J%=1 to I%-1:if gcd(I%,J%)>1 then 160 else J2=J%^2:J4=J2^2 60 ' (1) m=(i2+j2)^2, n=(i2-j2)^2, N=2(i4+j4) 70 G=fnSub(2*(I4+J4)):if G>M% then 90 80 M=(I2+J2)^2:N=(I2-J2)^2:R%=fnPrt(6) 90 ' (2) m=(i2+j2)^2, n=4i2j2, N=i4+j4+6i2j2 100 G=fnSub(I4+J4+6*I2*J2):if G>M% then 120 110 N=4*I2*J2:M=(I2-J2)^2+N:R%=fnPrt(7) 120 ' (3)(4) m,n=(i2-j2)^2, n,m=4i2j2, N=|i4+j4-6i2j2| 130 G=fnSub(abs(I4+J4-6*I2*J2)):if G>M% then 160 140 if I4+J4-6*I2*J2>0 then M=(I2-J2)^2:N=4*I2*J2:R%=fnPrt(8):goto 160 150 N=(I2-J2)^2:M=4*I2*J2:R%=fnPrt(9) 160 next J% 170 next I% 180 end 190 ' 200 fnSub(G) 210 local P,S=1 220 P=prmdiv(G):if or{P>M%,P=0} then return(G) 230 G=G\P:if G@P=0 then G=G\P else S=S*P 240 if or{S>M%,G=1} then return(S) else goto 220 250 ' 260 fnPrt(T) 270 reduce M,N 280 print "(";cutspc(str(T));"):";G;",";M;",";N;",";I%;",";J%;":"; 290 K=isqrt(M*N*(M+N)*(M-N)\G):X=(M*G)//N:Y=(K*G*G)//(N*N) 300 print num(X);",";num(Y);",";isqrt(den(X)) 310 return(0)
10,000以下のi、jについて調べたところ、新たに以下の7個について解が求められた。
167, 287, 359, 383, 479, 679, 839
実行結果は以下のとおり。
解が依然見つかっていないのは、以下の 126個。
53, 101, 103, 118, 127, 142, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 223, 229, 237, 263, 269, 271, 277, 278, 293, 302, 303, 311, 317, 326, 327, 334, 349, 358, 365, 367, 373, 382, 389, 397, 398, 407, 413, 415, 421, 431, 439, 446, 453, 454, 461, 463, 478, 485, 487, 493, 501, 502, 503, 519, 533, 541, 542, 543, 557, 566, 573, 583, 597, 599, 607, 613, 614, 623, 631, 638, 647, 653, 661, 662, 677, 685, 695, 701, 703, 717, 718, 727, 733, 742, 743, 757, 758, 766, 767, 773, 781, 789, 797, 807, 815, 822, 823, 829, 831, 838, 853, 862, 863, 877, 878, 886, 887, 893, 911, 917, 919, 926, 933, 941, 958, 965, 967, 974, 982, 983, 989, 991, 997, 998
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