４．一般の場合

素数の逆数の場合は、小数点第１位から循環が始まるが、合成数の場合、
例えば 6の逆数は、0.1[6]となり、循環しない部分と循環する部分が混在している。
前者を純循環小数、後者を混循環小数と呼ぶ。
6のような数についても循環節を見つけるためにはどうしたらよいか。

まず、何によって循環性を検出するかを考える。
いくつかの数を例にとり、商と余りを順に求めていくと、以下のようになる。

6		7		12		13
商	余り	商	余り	商	余り	商	余り
1 6 6	4 4 4	1 4 2 8 5 7 1	3 2 6 4 5 1 3	0 8 3 3	10 4 4 4	0 7 6 9 2 3 0	11 9 12 3 4 1 11

この表より、商と余りが繰り返された時点で、循環節と判断できることがわかる。
したがって、前のプログラムを以下のように修正すればよい。

1. 商と余りを格納するための配列を用意する。(n-1)個分とればよい。
2. 最初の商と余りは、無条件に配列に格納する。
3. それ以降は、既に格納されているかどうかを確認し、
   • 格納されていなければ、格納し、商をprint
   • 格納されていれば、循環節の終了
   と判断する。

プログラムは以下のとおり。

 10   ' cycle_m
 20   '
 30   input N
 40   dim Q%(N),R%(N)
 50   for I=1 to N:Q%(I)=0:R%(I)=0:next I
 60   '
 70   A=1
 80   B=A*10\N:A=res
 90   Q%(A)=B:R%(A)=A
100   '
110   B=A*10\N:A=res
120   if and{Q%(A)=B,R%(A)=A} then 160
130   Q%(A)=B:R%(A)=A
140   goto 110
150   '
160   S=Q%(A):T=R%(A)
170   A=1:F=0
180   B=A*10\N:A=res
190   if and{B=S,A=T} then print "[";:F=1
200   Q%(A)=B:R%(A)=A:print B;
210   if F=0 then 180
220   '
230   B=A*10\N:A=res
240   if and{B=S,A=T} then print "]":end
250   Q%(A)=B:R%(A)=A:print B;:goto 230

循環節の長さを表す公式は以下のとおりである。

n が 2, 5 以外の素因子を持つ場合、

n = 2^a・5^b・n',  (10, n') = 1
k = max {a, b}
e = mod n' での 10 の位数

とおくと、m/n は、はじめの k桁は循環せず、k+1 から循環し、循環節の長さは e である。

証明は、和田　秀男、 『数の世界−整数論への道』参照のこと。